Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(i) ( ) Se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge;
32
Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(j) ( ) Toda sequência alternada é divergente;
(i) ( ) Se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge;
32
Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(j) ( ) Toda sequência alternada é divergente;
Passo 1
O enunciado pede para analisar duas afirmações sobre sequências reais: (i) se uma sequência tem alguma subsequência convergente, então toda a sequência converge; (ii) toda sequência alternada é divergente. O assunto é convergência de sequências, subsequência e comportamento de sinais alternados.
Passo 2
Para (i), a afirmação é falsa. Basta apresentar um contraexemplo fácil: considere a sequência
. Ela não converge pois oscila entre 1 e -1. No entanto, a subsequência
converge trivialmente para 1. Logo, ter uma subsequência convergente não garante que a sequência completa convirja.
Passo 3
Para (j), a afirmação também é falsa. Uma sequência alternada pode convergir se seus termos em módulo vão a zero. Por exemplo,
alterna de sinal, mas
quando
. Assim, nem toda sequência alternada é divergente.
Resposta
(i) Falsa; (ii) Falsa.