Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(i) ( ) Se uma sequência possui uma subsequência convergente, ela própria converge;
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Determine se a afirmação é falsa (F) ou verdadeira (V). Se for verdadeira, explique por quê. Caso contrário, explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa.
(j) ( ) Toda sequência alternada é divergente;

Passo 1

O enunciado pede para analisar duas afirmações sobre sequências reais: (i) se uma sequência tem alguma subsequência convergente, então toda a sequência converge; (ii) toda sequência alternada é divergente. O assunto é convergência de sequências, subsequência e comportamento de sinais alternados.

Passo 2

Para (i), a afirmação é falsa. Basta apresentar um contraexemplo fácil: considere a sequência an = (-1)^n. Ela não converge pois oscila entre 1 e -1. No entanto, a subsequência a2n = 1 converge trivialmente para 1. Logo, ter uma subsequência convergente não garante que a sequência completa convirja.

Passo 3

Para (j), a afirmação também é falsa. Uma sequência alternada pode convergir se seus termos em módulo vão a zero. Por exemplo, bn = (-1)^nn alterna de sinal, mas bn to 0 quando n to infty. Assim, nem toda sequência alternada é divergente.

Resposta

(i) Falsa; (ii) Falsa.

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