Exercício 3.7.3. Calcule, por integração, a área da região limitada pelas curvas:
y=x^3, y=-x^3, e y=-1.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y=x^3, y=-x^3 e y=-1. Vamos usar o método de integrais definidas para área entre duas curvas, em que
área=integrala^bl(f(x)-g(x)r),dx, á
sendo f(x) a curva superior e g(x) a curva inferior no intervalo [a,b].

Passo 2

Determinar os pontos de interseção das fronteiras:
y=x^3 com y=-1 x^3=-1implies x=-1.
y=-x^3 com y=-1 -x^3=-1implies x=1.
– As curvas y=x^3 e y=-x^3 se cruzam em x=0, onde y=0.

Passo 3

O contorno fecha-se assim:
– de x=-1 a x=0, a região fica entre a curva inferior y=-1 e a curva superior y=x^3;
– de x=0 a x=1, a região fica entre a curva inferior y=-1 e a curva superior y=-x^3.
Logo a área total é
integral-1^0l(x^3-(-1)r),dx ;+;integral0^1l(-x^3-(-1)r),dx

Passo 4

Calcular cada integral separadamente:
integral-1^0(x^3+1),dx =[tfracx^44+x]-1^0 =0-l(tfrac14-1r) =tfrac34,
integral0^1(-x^3+1),dx =[-tfracx^44+x]0^1 =l(-tfrac14+1r)-0 =tfrac34

Passo 5

Somando as duas parcelas, obtemos
área=tfrac34+tfrac34=tfrac32 á

Resposta

tfrac32

Exercícios relacionados