Calcule, caso exista:
lim x 1^+ x^3-x^2+x-1x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite lateral limxto1^+x^3 - x^2 + x - 1x - 1. Esse é um problema de cálculo de limite de funções racionais e vamos precisar usar simplificação algébrica para eliminar a forma indeterminada.

Passo 2

Vamos primeiro verificar o que acontece ao substituir diretamente x=1 no numerador e denominador. Substituindo, o numerador fica 1^3 - 1^2 + 1 - 1 = 0 e o denominador 1 - 1 = 0. Então temos uma forma 0/0, ou seja, indeterminada, e precisamos simplificar.

Passo 3

Para remover essa indeterminação, fatoramos o numerador por agrupamento:
x^3 - x^2 + x - 1 = (x^3 - x^2) + (x - 1) = x^2(x - 1) + 1cdot(x - 1) = (x - 1)(x^2 + 1)

Passo 4

Como x neq 1 no limite lateral, podemos cancelar o fator x - 1 e ficar com a função equivalente
x^3 - x^2 + x - 1x - 1 = x^2 + 1

Passo 5

Agora basta calcular o limite da função simplificada quando x to 1^+. Como x^2+1 é contínua, temos
limxto1^+(x^2+1) = 1^2 + 1 = 2

Resposta

2

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