Calcule as integrais impróprias a seguir, indicando se elas convergem ou divergem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O problema pede para calcular a integral de
de
até o infinito. Esse tipo de integral faz parte do estudo das integrais impróprias e envolve conceitos de cálculo como limites e comportamento de funções. Vamos precisar entender como lidar com integrais que têm limites infinitos e funções que se comportam de maneira específica nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a análise:
Como o limite superior é infinito, essa é uma integral imprópria. Para resolver, vamos transformar o limite inferior em um parâmetro finito e depois levar esse parâmetro ao infinito:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Mas como
, podemos expressar
em termos de
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Então, a integral simplifica para:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltando à substituição original, onde
, temos:
Então, a integral indefinida é:
Passo 7
Agora, vamos aplicar os limites de integração de
até
e depois tomar o limite quando
tende ao infinito:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Vamos avaliar o limite:
- Quando
, , então . - Portanto, o limite fica:
Resposta
A integral imprópria
converge e seu valor é igual a
.