Calcule as integrais impróprias a seguir, indicando se elas convergem ou divergem:
integrale^infty d xx cdot[ln (x)]^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! O problema pede para calcular a integral de 1x cdot [ln(x)]^2 de e até o infinito. Esse tipo de integral faz parte do estudo das integrais impróprias e envolve conceitos de cálculo como limites e comportamento de funções. Vamos precisar entender como lidar com integrais que têm limites infinitos e funções que se comportam de maneira específica nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a integral para facilitar a análise:
integrale^infty dxx cdot [ln(x)]^2
Como o limite superior é infinito, essa é uma integral imprópria. Para resolver, vamos transformar o limite inferior em um parâmetro finito e depois levar esse parâmetro ao infinito:
limb to infty integrale^b dxx cdot [ln(x)]^2

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = ln(x)
Então, a derivada de u em relação a x é:
dudx = 1x Rightarrow dx = x cdot du
Mas como u = ln(x), podemos expressar x em termos de u:
x = e^u

Passo 4

Substituindo u = ln(x) e dx = e^u du na integral original:
integral dxx cdot [ln(x)]^2 = integral e^u due^u cdot u^2 = integral duu^2
Então, a integral simplifica para:
integral duu^2

Passo 5

Agora, vamos integrar 1u^2 em relação a u:
integral duu^2 = -1u + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltando à substituição original, onde u = ln(x), temos:
-1u = -1ln(x)
Então, a integral indefinida é:
-1ln(x) + C

Passo 7

Agora, vamos aplicar os limites de integração de e até b e depois tomar o limite quando b tende ao infinito:
limb to infty [ -1ln(b) + 1ln(e) ]
Sabemos que ln(e) = 1, então:
limb to infty [ -1ln(b) + 1 ]

Passo 8

Vamos avaliar o limite:
  • Quando b to infty, ln(b) to infty, então 1ln(b) to 0.
  • Portanto, o limite fica:
0 + 1 = 1

Resposta

A integral imprópria integrale^infty dxx cdot [ln(x)]^2 converge e seu valor é igual a 1.

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