Calcule, caso exista, lim x 0 x^2 cdot g(x) e lim x 0 g(x) onde g(x)=ll1, & se x in Q -1, & se x notin Q.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular dois limites quando g(x) = 1, & se x in Q -1, & se x notin Q tende a zero para duas funções diferentes:
Aqui, a função é definida de forma diferente dependendo se é um número racional ou irracional:
Vamos precisar entender como os limites funcionam e como essa definição de afeta os resultados.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Sabemos que é uma função que tende a zero quando se aproxima de zero. Além disso, sempre será 1 ou -1, dependendo se é racional ou irracional.
Então, temos uma função que está sendo multiplicada por algo que está se aproximando de zero. Independentemente de ser 1 ou -1, o produto vai se aproximar de zero, porque qualquer número multiplicado por zero é zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar . Aqui, estamos olhando apenas para a função sem nenhum outro fator. A coisa interessante sobre é que, perto de zero, pode ser racional ou irracional, e isso faz com que oscile entre 1 e -1.
Como não conseguimos definir um único valor que está se aproximando quando tende a zero (porque ele continua mudando entre 1 e -1), dizemos que o limite não existe.

Resposta

limx to 0 x^2 cdot g(x) = 0 e limx to 0 g(x) não existe ã

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