Calcule, caso exista,
e
onde
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. A gente precisa calcular dois limites quando
tende a zero para duas funções diferentes:
Aqui, a função
é definida de forma diferente dependendo se
é um número racional ou irracional:
Vamos precisar entender como os limites funcionam e como essa definição de
afeta os resultados.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Sabemos que
é uma função que tende a zero quando
se aproxima de zero. Além disso,
sempre será 1 ou -1, dependendo se
é racional ou irracional.
Então, temos uma função que está sendo multiplicada por algo que está se aproximando de zero. Independentemente de
ser 1 ou -1, o produto
vai se aproximar de zero, porque qualquer número multiplicado por zero é zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. Aqui, estamos olhando apenas para a função
sem nenhum outro fator. A coisa interessante sobre
é que, perto de zero,
pode ser racional ou irracional, e isso faz com que
oscile entre 1 e -1.
Como não conseguimos definir um único valor que
está se aproximando quando
tende a zero (porque ele continua mudando entre 1 e -1), dizemos que o limite não existe.