Uma função u: A subset R^2 R é chamada de função harmônica em um domínio A se ela satisfaz a equação de Laplace:
De
onde De é chamado de operador Laplaciano. Note que, para que uma função seja harmônica, é necessário que existam as derivadas parciais de segunda ordem. No caso de funções analíticas, as derivadas de segunda ordem sempre existem, pois mostraremos, quando estudarmos integração complexa que as funções analíticas são infinitamente diferenciáveis! Agora vamos descrever alguns fatos importantes sobre as funções harmônicas:
  • Uma forma interessante de construir funções analíticas é a seguinte: Dada uma função harmônica v, ache sua função harmônica conjugada u. Então definimos f=u+i v. Automaticamente f será analítica. Usando este procedimento, e dadas as funções v(x, y)=e^x cos y, v(x, y)=x^3-3 x y^2 e v(x, y)=sin x cosh y, verifique que elas são harmônicas, ache sua harmônica conjugada u, e construa uma função analítica f=u+i v.

Passo 1

E aí! Vamos resolver um exercício sobre funções harmônicas e funções analíticas. O que a gente precisa fazer aqui é verificar se três funções dadas são harmônicas, encontrar a função harmônica conjugada para cada uma delas e, por fim, construir uma função analítica usando essas pares. Para isso, vamos usar a equação de Laplace e um pouco de teoria sobre funções harmônicas e conjugadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função harmônica. Uma função De é chamada de harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Isso significa que a soma das derivadas segundas de em relação a e é igual a zero. Vamos usar isso para verificar se cada função dada é harmônica.

Passo 3

Vamos começar com a primeira função:
v(x, y) = e^x cos y
Vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem de partial vpartial x = e^x cos y .
Primeiro, a derivada de partial^2 vpartial x^2 = e^x cos y em relação a partial vpartial y = -e^x sin y :
partial^2 vpartial y^2 = -e^x cos y
E a segunda derivada:
De
Agora, a derivada de em relação a :
E a segunda derivada:
Somando as duas segundas derivadas:
Como , a função é harmônica.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a função harmônica conjugada partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x . Para funções harmônicas, existe uma função partial vpartial y = -e^x sin y e partial vpartial x = e^x cos y tal que partial upartial x = -e^x sin y e partial upartial y = -e^x cos y é analítica, e u(x, y) = -integral e^x sin y , dx = -e^x sin y + g(y) e partial upartial y = -e^x cos y + g'(y) satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
-e^x cos y + g'(y) = -e^x cos y
Já sabemos que:
u(x, y) = -e^x sin y
Então, temos:
Vamos integrar em relação a :
Onde é uma função de . Agora, derivamos em relação a :
Igualando com a equação de Cauchy-Riemann:
Isso implica que , então é uma constante. Podemos escolher para simplificar.
Portanto, a função harmônica conjugada é:

Passo 5

Agora, vamos construir a função analítica f(x, y) = -e^x sin y + i e^x cos y :
f(x, y) = e^x ( -sin y + i cos y ) = e^x e^i (pi2 - y) = e^x + i y
Podemos escrever isso de forma mais elegante usando a fórmula de Euler:
f(x, y) = e^x + i y
Então, a função analítica é:

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda função:
v(x, y) = x^3 - 3x y^2
Primeiro, vamos verificar se ela é harmônica calculando partial^2 vpartial x^2 = partialpartial x (3x^2 - 3 y^2) = 6x .
A derivada de segunda ordem em partial^2 vpartial y^2 = partialpartial y (-6x y) = -6x :
De
A derivada de segunda ordem em :
Somando:
Portanto, é harmônica.

Passo 7

Agora, encontramos a função harmônica conjugada partial upartial x = partial vpartial y = -6x y e partial upartial y = -partial vpartial x = -3x^2 + 3y^2 .
As equações de Cauchy-Riemann são:
u(x, y) = integral -6x y , dx = -3x^2 y + h(y)
Vamos integrar partial upartial y = -3x^2 + h'(y) em relação a -3x^2 + h'(y) = -3x^2 + 3y^2 :
h(y) = y^3 + C
Derivando u(x, y) = -3x^2 y + y^3 em relação a :
Igualando com a equação de Cauchy-Riemann:
Isso implica que , então:
Onde é uma constante. Podemos escolher para simplificar.
Portanto, a função harmônica conjugada é:

Passo 8

Construindo a função analítica f(x, y) = (-3x^2 y + y^3) + i (x^3 - 3x y^2) :
f(x, y) = y ( -3x^2 + y^2 ) + i x (x^2 - 3y^2)
Podemos fatorar:
Ou simplesmente deixar como está.

Passo 9

Finalmente, vamos para a terceira função:
v(x, y) = sin x cosh y
Verificamos se é harmônica calculando partial vpartial x = cos x cosh y .
Primeira derivada em partial^2 vpartial x^2 = -sin x cosh y :
partial vpartial y = sin x sinh y
Segunda derivada em partial^2 vpartial y^2 = sin x cosh y :
De
Primeira derivada em :
Segunda derivada em :
Somando:
Então, é harmônica.

Passo 10

Agora, encontramos a função harmônica conjugada partial upartial x = partial vpartial y = sin x sinh y e partial upartial y = -partial vpartial x = -cos x cosh y .
Usando as equações de Cauchy-Riemann:
u(x, y) = -cos x sinh y + k(y)
Vamos integrar partial upartial y = -cos x cosh y + k'(y) em relação a -cos x cosh y + k'(y) = -cos x cosh y :
u(x, y) = -cos x sinh y
Derivando em relação a :
Igualando com a equação de Cauchy-Riemann:
Isso implica que , então é uma constante. Podemos escolher .
Portanto, a função harmônica conjugada é:

Passo 11

Construindo a função analítica f(x, y) = -cos x sinh y + i sin x cosh y :
f(x, y) = i sin x cosh y - cos x sinh y = sin(x + i y)
Podemos utilizar a identidade de Euler para reescrever:
f(x, y) = sin(x + i y)
Portanto, a função analítica é:

Resposta

As funções harmônicas conjugadas e as funções analíticas correspondentes são:
  1. Para u(x, y) = -e^x sin y :
    f(x, y) = e^x + i y
    u(x, y) = -3x^2 y + y^3
  2. Para f(x, y) = (-3x^2 y + y^3) + i (x^3 - 3x y^2) :
    u(x, y) = -cos x sinh y
    f(x, y) = sin(x + i y)
  3. Para :

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