Uma função
é chamada de função harmônica em um domínio
se ela satisfaz a equação de Laplace:
onde
é chamado de operador Laplaciano. Note que, para que uma função seja harmônica, é necessário que existam as derivadas parciais de segunda ordem. No caso de funções analíticas, as derivadas de segunda ordem sempre existem, pois mostraremos, quando estudarmos integração complexa que as funções analíticas são infinitamente diferenciáveis! Agora vamos descrever alguns fatos importantes sobre as funções harmônicas:
- Uma forma interessante de construir funções analíticas é a seguinte: Dada uma função harmônica
, ache sua função harmônica conjugada
. Então definimos
. Automaticamente
será analítica. Usando este procedimento, e dadas as funções
,
e
, verifique que elas são harmônicas, ache sua harmônica conjugada
, e construa uma função analítica
.
Passo 1
E aí! Vamos resolver um exercício sobre funções harmônicas e funções analíticas. O que a gente precisa fazer aqui é verificar se três funções dadas são harmônicas, encontrar a função harmônica conjugada para cada uma delas e, por fim, construir uma função analítica usando essas pares. Para isso, vamos usar a equação de Laplace e um pouco de teoria sobre funções harmônicas e conjugadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma função harmônica. Uma função
é chamada de harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Isso significa que a soma das derivadas segundas de
em relação a
e
é igual a zero. Vamos usar isso para verificar se cada função
dada é harmônica.
Passo 3
Vamos começar com a primeira função:
Vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem de
.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada:
Agora, a derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada:
Somando as duas segundas derivadas:
Como
, a função
é harmônica.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a função harmônica conjugada
. Para funções harmônicas, existe uma função
tal que
é analítica, e
e
satisfazem as equações de Cauchy-Riemann:
Já sabemos que:
Então, temos:
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é uma função de
. Agora, derivamos
em relação a
:
Igualando com a equação de Cauchy-Riemann:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos escolher
para simplificar.
Portanto, a função harmônica conjugada é:
Passo 5
Agora, vamos construir a função analítica
:
Podemos escrever isso de forma mais elegante usando a fórmula de Euler:
Então, a função analítica é:
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para a segunda função:
Primeiro, vamos verificar se ela é harmônica calculando
.
A derivada de segunda ordem em
:
A derivada de segunda ordem em
:
Somando:
Portanto,
é harmônica.
Passo 7
Agora, encontramos a função harmônica conjugada
.
As equações de Cauchy-Riemann são:
Vamos integrar
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Igualando com a equação de Cauchy-Riemann:
Isso implica que
, então:
Onde
é uma constante. Podemos escolher
para simplificar.
Portanto, a função harmônica conjugada é:
Passo 8
Construindo a função analítica
:
Podemos fatorar:
Ou simplesmente deixar como está.
Passo 9
Finalmente, vamos para a terceira função:
Verificamos se é harmônica calculando
.
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Primeira derivada em
:
Segunda derivada em
:
Somando:
Então,
é harmônica.
Passo 10
Agora, encontramos a função harmônica conjugada
.
Usando as equações de Cauchy-Riemann:
Vamos integrar
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Igualando com a equação de Cauchy-Riemann:
Isso implica que
, então
é uma constante. Podemos escolher
.
Portanto, a função harmônica conjugada é:
Passo 11
Construindo a função analítica
:
Podemos utilizar a identidade de Euler para reescrever:
Portanto, a função analítica é:
Resposta
As funções harmônicas conjugadas e as funções analíticas correspondentes são:
-
Para
: -
Para
: -
Para
: