Calcule os seguintes limites usando o Teorema da © lim x 1 x^3-2 x^2-x+2x^3+x^2-x-1 (dica: fatore os polinômios)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite limx 1 x^3 - 2x^2 - x + 2x^3 + x^2 - x - 1. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Fator, que nos ajuda a fatorar polinômios e simplificar expressões.

Passo 2

Vamos começar fatorando o numerador x^3 - 2x^2 - x + 2. Para isso, procuramos raízes possíveis testando valores que fazem o polinômio igual a zero. Substituindo x = 1:
1^3 - 2(1)^2 - 1 + 2 = 1 - 2 - 1 + 2 = 0
Como obteve zero, (x - 1) é um fator. Agora, usamos a divisão polinomial para encontrar os outros fatores:
x^3 - 2x^2 - x + 2 = (x - 1)(x^2 - x - 2)
Fatorando x^2 - x - 2:
x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)
Então, o numerador fatorado é (x - 1)(x - 2)(x + 1).

Passo 3

Agora, vamos fatorar o denominador x^3 + x^2 - x - 1. Testando x = 1:
1^3 + 1^2 - 1 - 1 = 1 + 1 - 1 - 1 = 0
Então, (x - 1) também é um fator do denominador. Fazendo a divisão polinomial:
x^3 + x^2 - x - 1 = (x - 1)(x^2 + 2x + 1)
Fatorando x^2 + 2x + 1:
x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2
Então, o denominador fatorado é (x - 1)(x + 1)^2.

Passo 4

Substituímos as fatorações na expressão do limite:
limx 1 (x - 1)(x - 2)(x + 1)(x - 1)(x + 1)^2
Podemos cancelar o fator comum (x - 1):
limx 1 (x - 2)(x + 1)(x + 1)^2
Isso simplifica para:
limx 1 x - 2x + 1

Resposta

Substituindo x = 1 na expressão simplificada:
1 - 21 + 1 = -12
Portanto, o limite é -12.

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