Calcule, caso exista
lim x -infty(6 x+16 x-1)^x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto -inftyl(6x+16x-1r)^x
Percebemos que, para xto -infty, a base tfrac6x+16x-1to1 e o expoente vai para -infty, o que é uma forma indeterminada do tipo 1^infty. Para resolver, vamos usar transformação logarítmica.

Passo 2

Defina
L = limxto -inftyl(6x+16x-1r)^x
Então
ln L = limxto -infty x;lnl(6x+16x-1r)
Esse limite é do tipo tfrac00 se reescrito como
ln L = limxto -infty lnl((6x+1)/(6x-1)r)1/x

Passo 3

Aplicamos o Teorema de l’Hôpital a
lnl((6x+1)/(6x-1)r)1/x
Derivada do numerador:
ddxl[lnl(tfrac6x+16x-1r)r] = ddxl(6x+16x-1r)6x+16x-1 = -12/(6x-1)^2,(6x+1)/(6x-1), = -12(6x-1)(6x+1)
Derivada do denominador:
ddxl(tfrac1xr) = -1x^2
Logo, pelo l’Hôpital,
ln L = limxto -infty -tfrac12(6x-1)(6x+1)-tfrac1x^2 = limxto -infty 12,x^236x^2-1 = 1236 = 13

Passo 4

Como ln L = tfrac13, concluímos
L = e^tfrac13

Resposta

e^tfrac13

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