8.3F Considere a curva de equação polar r=sen theta+cos theta,-pi / 4 <= theta <= 3 pi / 4. De duas maneiras identifique a curva como um arco de circunferência: primeiro passe a equação para coordenadas cartesianas; depois use o exercício precedente.

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r = sintheta + costheta, -tfracpi4 <= theta <= tfrac3pi4
e pede que a identifiquemos como arco de circunferência de duas maneiras: (i) passando para coordenadas cartesianas e (ii) usando o resultado de que
r = ecos(theta - alpha)
é círculo de diâmetro e.

Passo 2

Para a via cartesiana, note que sintheta = y/r e costheta = x/r. Multiplicando
r = yr + xr
por r, fica
r^2 = x + y
Como r^2 = x^2 + y^2, obtemos
x^2 + y^2 = x + y Long<=ftrightarrow x^2 - x + y^2 - y = 0 Long<=ftrightarrow l(x-tfrac12r)^2 + l(y-tfrac12r)^2 = tfrac12
Isso mostra que a curva é o arco da circunferência de centro l(tfrac12,tfrac12r) e raio 1/raiz2.

Passo 3

Para usar o exercício anterior, escrevemos
sintheta+costheta = raiz2l(tfrac1raiz2sintheta+tfrac1raiz2costhetar) = raiz2,cos!l(theta - tfracpi4r),
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r = raiz2,cos!l(theta - tfracpi4r)
Pelo resultado dado, isso é a circunferência de diâmetro e=raiz2, ou seja, raio tfracraiz22 e centro em coordenadas polares l(tfrace2,alphar)=(tfracraiz22,tfracpi4), que em cartesianas é
l(tfracraiz22costfracpi4,;tfracraiz22sintfracpi4r) =(tfrac12,tfrac12),
coincidindo com o método anterior.

Resposta

A curva é o arco da circunferência
l(x-tfrac12r)^2 + l(y-tfrac12r)^2 = tfrac12,
correspondente aos pontos obtidos para -tfracpi4<=theta<=tfrac3pi4.

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