Calcule as derivadas das funções abaixo:
g(t)=\sqrt{t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função g dada por
g(t)=\sqrt{t}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função está definida para t\ge 0 (a raiz quadrada de t só faz sentido real quando t\ge 0).
  • Pedido: encontrar g'(t), a derivada de g em termos de t.

Passo 2

Primeiro, lembro o que significa derivada: a derivada de uma função g em um ponto t é o limite do quociente de diferença quando o incremento tende a zero. Em fórmula:
g'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{g(t+h)-g(t)}{h},
desde que esse limite exista. Aqui h representa um pequeno incremento no argumento t.

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função g(t)=\sqrt{t}, escrevo o quociente de diferença:
\frac{g(t+h)-g(t)}{h}=\frac{\sqrt{t+h}-\sqrt{t}}{h}.
Esse quociente tem uma forma que costuma ser tratada com o truque do conjugado (multiplicar numerador e denominador por \sqrt{t+h}+\sqrt{t}) para eliminar as raízes no numerador. Faço isso:
\frac{\sqrt{t+h}-\sqrt{t}}{h}\cdot\frac{\sqrt{t+h}+\sqrt{t}}{\sqrt{t+h}+\sqrt{t}} =\frac{(\sqrt{t+h}-\sqrt{t})(\sqrt{t+h}+\sqrt{t})}{h\big(\sqrt{t+h}+\sqrt{t}\big)}.

Passo 4

No numerador ocorre uma diferença de quadrados, que simplifica:
(\sqrt{t+h}-\sqrt{t})(\sqrt{t+h}+\sqrt{t})=(t+h)-t=h.
Substituindo essa simplificação no quociente obtemos:
\frac{\sqrt{t+h}-\sqrt{t}}{h}=\frac{h}{h\big(\sqrt{t+h}+\sqrt{t}\big)}=\frac{1}{\sqrt{t+h}+\sqrt{t}},
válido sempre que h\neq 0 e t\ge 0 com t+h\ge 0.

Passo 5

Agora tomo o limite quando h\to 0:
g'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{t+h}+\sqrt{t}}=\frac{1}{\sqrt{t}+\sqrt{t}}=\frac{1}{2\sqrt{t}},
desde que \sqrt{t} exista e seja não nulo. Concluímos que, para t>0,
g'(t)=\frac{1}{2\sqrt{t}}.

Passo 6

Observação sobre o ponto t=0: avalio o limite do quociente de diferença em t=0,
\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{h}}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{h}}=\infty,
ou seja, o limite não é finito e a derivada não existe (não é um número real) em t=0. Portanto a expressão \dfrac{1}{2\sqrt{t}} vale somente para t>0.

Passo 7

Método alternativo (mais curto, útil na prova): reescrever a função como potência,
g(t)=\sqrt{t}=t^{1/2}.
Usa-se a regra do poder: para f(t)=t^{n} com n constante real, vale
f'(t)=n\,t^{n-1}.
Aplicando com n=\tfrac{1}{2},
g'(t)=\tfrac{1}{2}\,t^{-\tfrac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{t}},
obtendo o mesmo resultado para t>0. A derivada no zero continua inexistente.

Resposta

g'(t)=\dfrac{1}{2\sqrt{t}}\quad (t>0)

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