Calcule as derivadas das funções abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A função está definida para
(a raiz quadrada de só faz sentido real quando ). - Pedido: encontrar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Primeiro, lembro o que significa derivada: a derivada de uma função
em um ponto
é o limite do quociente de diferença quando o incremento tende a zero. Em fórmula:
desde que esse limite exista. Aqui
representa um pequeno incremento no argumento
.
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função
, escrevo o quociente de diferença:
Esse quociente tem uma forma que costuma ser tratada com o truque do conjugado (multiplicar numerador e denominador por
) para eliminar as raízes no numerador. Faço isso:
Passo 4
No numerador ocorre uma diferença de quadrados, que simplifica:
Substituindo essa simplificação no quociente obtemos:
válido sempre que
e
com
.
Passo 5
Agora tomo o limite quando
:
desde que
exista e seja não nulo. Concluímos que, para
,
Passo 6
Observação sobre o ponto
: avalio o limite do quociente de diferença em
,
ou seja, o limite não é finito e a derivada não existe (não é um número real) em
. Portanto a expressão
vale somente para
.
Passo 7
Método alternativo (mais curto, útil na prova): reescrever a função como potência,
Usa-se a regra do poder: para
com
constante real, vale
Aplicando com
,
obtendo o mesmo resultado para
. A derivada no zero continua inexistente.