Calcule, caso exista
lim x 1^-(2-x)^tg(pi x2)

Passo 1

O enunciado pede
limxto1^-(2-x)^tan!l(tfracpi x2r)
Aqui temos uma forma indeterminada do tipo 1^infty. Para resolver, vamos usar o truque de tomar o logaritmo e depois aplicar a exponencial.

Passo 2

Defina
L=limxto1^-tan!l(tfracpi x2r),ln(2-x)
Então, se esse limite L existir e for finito, teremos
limxto1^-(2-x)^tan(pi x2) =expl(Lr)

Passo 3

Para calcular L, faça a troca x=1-varepsilon com varepsilonto0^+. Então
2-x=2-(1-varepsilon)=1+varepsilon, tfracpi x2=tfracpi2-tfracpivarepsilon2
Logo
ln(2-x)=ln(1+varepsilon) e tan!l(tfracpi x2r) =tan!l(tfracpi2-tfracpivarepsilon2r) =cot!l(tfracpivarepsilon2r)

Passo 4

Para varepsilonto0^+ usamos as expansões
ln(1+varepsilon)=varepsilon-tfracvarepsilon^22+o(varepsilon^2), cot!l(tfracpivarepsilon2r)simtfrac2pivarepsilon
Então
L =limvarepsilonto0^+ cot!l(tfracpivarepsilon2r),ln(1+varepsilon) simlimvarepsilonto0^+2pivarepsilon,l(varepsilon-tfracvarepsilon^22r) =2pi,limvarepsilonto0^+l(1-tfracvarepsilon2r) =2pi

Passo 5

Como L=2/pi, voltamos ao original e obtemos
limxto1^-(2-x)^tan(pi x2) =exp!l(tfrac2pir)

Resposta

e^tfrac2pi

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