Calcule as seguintes integrais:
i) integral e^-x3 cdot sen(2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
I = integral e^-tfracx3sen(2x),dx
Este tipo de integral envolve o produto de uma exponencial e uma função trigonométrica. Para resolvê-la, vamos usar o método de integração por partes duas vezes, criando uma equação linear em I.

Passo 2

Defina
I = integral e^-tfracx3sen(2x),dx
Aplique integração por partes escolhendo
u = sen(2x), dv = e^-tfracx3,dx
Então
du = 2cos(2x),dx, v = integral e^-tfracx3,dx = -3e^-tfracx3
Logo,
I = uv - integral v,du = -3e^-tfracx3sen(2x) +6integral e^-tfracx3cos(2x),dx
Denotando
J = integral e^-tfracx3cos(2x),dx,
temos
I = -3e^-tfracx3sen(2x) +6J

Passo 3

Agora calcule J por partes novamente, com
u = cos(2x), dv = e^-tfracx3,dx,
de modo que
du = -2sen(2x),dx, v = -3e^-tfracx3
Dessa forma,
J = uv - integral v,du = -3e^-tfracx3cos(2x) ;-;6integral e^-tfracx3sen(2x),dx = -3e^-tfracx3cos(2x) -6I

Passo 4

Substitua J em
I = -3e^-tfracx3sen(2x) +6J
para obter
I = -3e^-tfracx3sen(2x) +6l(-3e^-tfracx3cos(2x)-6Ir) = -3e^-tfracx3sen(2x)-18e^-tfracx3cos(2x)-36I
Leve o termo em I para o lado esquerdo:
I +36I = 37I = -3e^-tfracx3sen(2x)-18e^-tfracx3cos(2x)
Logo,
I = -3e^-tfracx3sen(2x)-18e^-tfracx3cos(2x)37 + C

Resposta

boxed integral e^-tfracx3sen(2x),dx = -3e^-tfracx3sen(2x)-18e^-tfracx3cos(2x)37 + C

Exercícios relacionados