Usando a definição de derivada, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0. Se existir, determine f^prime(x0).
f(x)=2 x-6, x0=3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x)=2x-6
é derivável em x0=3 usando a definição de derivada, e, em caso afirmativo, determinar f'(3). Vamos usar a definição de derivada pelo incremento h.

Passo 2

A definição de derivada em x0 pelo incremento é
f'(x0)=limhto0f(x0+h)-f(x0)h

Passo 3

Calculamos primeiro
f(3)=2cdot3-6=0
e
f(3+h)=2(3+h)-6=6+2h-6=2h
Logo, o incremento de f é
f(3+h)-f(3)=2h-0=2h

Passo 4

O quociente incremental fica
f(3+h)-f(3)h=2hh=2para hneq0
Como esse valor é constante, o limite quando hto0 é
limhto02=2

Passo 5

O limite existe e vale 2. Portanto, f é derivável em x0=3 e
f'(3)=2

Resposta

f é derivável em x0=3 e f'(3)=2.

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