Calcule, caso exista:
(0,5) \lim _{(x, y) \rightarrow(0, \pi)} \frac{1}{1-\cos \left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{(x,y)\to(0,\pi)} \frac{1}{1-\cos\!\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)}.
Informações fornecidas:
  • A função em questão é f(x,y)=\dfrac{1}{1-\cos\!\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,\pi).
  • É preciso determinar se o limite existe e, se existir, encontrar o valor.

Passo 2

Observação sobre continuidade (uma explicação didática): se uma função é obtida por composição de funções contínuas e o denominador no ponto não é zero, então o valor da função no ponto (quando bem definido) é o limite quando a variável tende ao ponto. Vamos verificar as funções envolvidas:
  • A função (x,y)\mapsto x^{2}+y^{2} é polinomial em x e y, logo contínua em todo \mathbb{R}^{2}.
  • A função t\mapsto \sqrt{t} é contínua em [0,\infty). Como x^{2}+y^{2}\ge 0, a composição (x,y)\mapsto \sqrt{x^{2}+y^{2}} é contínua.
  • A função u\mapsto \cos(u) é contínua em \mathbb{R}.
  • Portanto a composição (x,y)\mapsto \cos\!\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big) é contínua, e por fim (x,y)\mapsto 1-\cos\!\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big) também é contínua.

Passo 3

Avaliação no ponto (passo numérico): primeiro calculamos o argumento da cosseno no ponto:
\sqrt{0^{2}+\pi^{2}}=\sqrt{\pi^{2}}=\pi.
Como \cos é contínua, temos
\cos\!\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)\longrightarrow \cos(\pi) \quad\text{quando }(x,y)\to(0,\pi).
E \cos(\pi)=-1. Logo, o denominador tende a
1-\cos(\pi)=1-(-1)=2,
que é diferente de zero. Como o denominador não se anula no ponto limite e todas as funções envolvidas são contínuas, a expressão original é contínua no ponto e o limite é obtido simplesmente substituindo:
\lim_{(x,y)\to(0,\pi)} \frac{1}{1-\cos\!\big(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\big)}=\frac{1}{1-\cos(\pi)}=\frac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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