Calcule, caso exista:
\lim_{(x, y) \rightarrow(0,0)} \sqrt{x^{2}+y^{2}} x y

Passo 1

O problema pede o valor do limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, x y.
Informações dadas: a expressão é \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, x y e o ponto para o qual (x,y) se aproxima é (0,0). Queremos saber se esse limite existe e, em caso afirmativo, qual é seu valor.

Passo 2

Vou explicar o que significa provar esse limite: dizer que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, x y = L
significa que para qualquer sequência (x_n,y_n) que tende para (0,0) a sequência dos valores \sqrt{x_n^{2}+y_n^{2}}\, x_n y_n tende para L. Uma maneira prática é mostrar que o valor absoluto da expressão fica muito pequeno quando (x,y) está perto de (0,0). Vou introduzir a notação
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
que é a distância de (x,y) até (0,0). Observação útil: (x,y)\to(0,0) é equivalente a r\to 0^+.

Passo 3

Escolho um método direto e básico: estimar (maiorar) em módulo a expressão por uma função que conhecemos bem e que tende a zero quando r\to0. Esse é um método simples que costuma ser o suficiente em provas curtas e que evita cálculos trigonométricos desnecessários.

Passo 4

Calculemos uma desigualdade. Começamos pelo módulo da expressão:
\left|\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, x y\right| = r\,|x y|.
Agora usamos que, para qualquer x,y,
|x|\le r,\qquad |y|\le r,
porque r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge\sqrt{x^{2}}=|x| e de modo análogo para |y|. Então
r\,|x y| \le r\cdot |x|\cdot |y| \le r\cdot r\cdot r = r^{3}.

Passo 5

Portanto temos, para todos (x,y),
\left|\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, x y\right| \le r^{3}.
Isto implica a desigualdade com sinais:
-r^{3} \le \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, x y \le r^{3}.
Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que r^{3}\to0. Pelo Teorema do Confronto (squeeze theorem), a expressão \sqrt{x^{2}+y^{2}}\, x y também tende a 0.

Passo 6

Intuição extra (opcional): se você for por uma reta, por exemplo y=mx, então x\to0 implica
\sqrt{x^{2}+y^{2}}\, x y = \sqrt{1+m^{2}}\, m\, x^{3},
que claramente tende a 0 quando x\to0. Isso confirma que em quaisquer trajetórias a tendência é zero, consistente com o resultado geral.

Resposta

0

Exercícios relacionados