Desenhe a superfície de nível correspondente a c=1 para as seguintes funções: f(x, y, z)=x y(x-y)
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a superfície de nível correspondente a c=1 da função f dada. Informações fornecidas:
A função é f(x,y,z)=x\,y\,(x-y).
Queremos a superfície de nível definida por f(x,y,z)=1.
Não há outras restrições dadas (logo pares (x,y,z) que satisfaçam a equação são válidos).
A partir daqui vamos transformar essa equação, estudar a curva no plano xy que gera a superfície e explicar passo a passo como desenhar.
Passo 2
O que é uma superfície de nível (rápido e intuitivo): a superfície de nível para c=1 é o conjunto de pontos (x,y,z) tais que
x\,y\,(x-y)=1.
Note algo muito importante e útil: a expressão do lado esquerdo não envolve z. Isso significa que, se um par (x,y) satisfaz x\,y\,(x-y)=1, então qualquer valor de z dá um ponto da superfície. Em outras palavras, a superfície é a “extrusão” (um cilindro) da curva planar definida por x\,y\,(x-y)=1 no plano z=0 ao longo do eixo z.
Passo 3
Reduzimos o problema ao estudo da curva plana
x\,y\,(x-y)=1,
pois a superfície de nível é exatamente essa curva “estendida” para todos os z. Vamos analisar a curva no plano xy: seus pontos são os (x,y) que satisfazem a equação acima. Observação imediata: x=0 ou y=0 ou x=y não podem ocorrer, porque nesses casos o produto seria zero, não igual a 1.
Passo 4
Parametrização muito prática (e didática): escrever y\) como uma proporção de \(x\). Defina o parâmetro
\[k=\frac{y}{x}\quad\text{(isso exige }x\neq0\text{, que é consistente com a equação)}
então y=kx. Substituindo na equação:
x\cdot (k x)\cdot(x-kx)=k(1-k)x^{3}=1.
Isolando x obtemos
x^{3}=\frac{1}{k(1-k)}.
Tomando a raiz cúbica real (lembrando que a raiz cúbica de número negativo é negativa), temos
A superfície de nível é então obtida permitindo qualquer (z\in\mathbb{R}].]
Passo 5
Interpretação do parâmetro k e sinais (como usar isso para desenhar):
Se k\in(0,1) então k(1-k)>0 e x>0. Esses k geram a(s) ramo(s) com x>0.
Se k<0 ou k>1 então k(1-k)<0 e x<0. Esses k geram a(s) ramo(s) com x<0.
Os valores k=0 ou k=1 são proibidos porque fariam divisão por zero (correspondem às retas descartadas y=0 ou y=x onde o produto é zero).
Com isso já conseguimos traçar pontos de forma fácil: escolho alguns k (por exemplo k=\tfrac12,\;k=2,\;k=-1), calculo x(k) e y(k) e ploto. Exemplo rápido:
Para k=\tfrac12: k(1-k)=\tfrac14 então x=\sqrt[3]{4} \approx 1{,}587, y=\tfrac12 x\approx 0{,}793.
Para k=-1: k(1-k)=-1\cdot 2=-2 então x=\sqrt[3]{-1/2}\approx -0{,}793, y=kx\approx 0{,}793.
Passo 6
Abordagem alternativa (resolução quadrática em y) e consistência: se preferir ver a curva como equação em y para um x fixo, reorganize:
Trata-se de uma equação quadrática em y. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
y=\frac{x^{2}\pm\sqrt{x^{4}-4x}}{2x}.
Daí surge a condição de existência real: o discriminante deve satisfazer x^{4}-4x\ge0. Analisando esse polinômio chega-se a que há soluções reais para x\le0 ou para x\ge\sqrt[3]{4} (isto coincide com a parametrização por k: valores positivos de x possíveis começam em x=\sqrt[3]{4}\approx1{,}587). Para cada x nesses intervalos há duas soluções de y, correspondendo às duas escolhas do sinal \pm. Para x muito grande em módulo, a raiz quadrada behaves like x^{2}, e obtemos dois ramos que se aproximam das retas y=0 e y=x (essas são assimptotas da curva no plano).
Passo 7
Descrição geométrica final e instruções práticas de desenho:
A curva no plano xy é um cúbico algébrico com duas assimptotas lineares: y=0 e y=x. Ela tem dois conjuntos de ramos: um conjunto com x<0 e outro com x\ge\sqrt[3]{4}.
A superfície de nível em \mathbb{R}^{3} é exatamente a extrusão vertical dessa curva: para cada ponto (x,y) da curva, todos os pontos (x,y,z) com z\in\mathbb{R} pertencem à superfície. Portanto a superfície é um “cilindro” sobre essa curva base.
Para desenhar: (i) desenhe no plano xy as duas retas y=0 e y=x como guias; (ii) plote alguns pontos usando a parametrização por k (por exemplo k=\tfrac12, \tfrac14, \tfrac34, -1, 2); (iii) trace os ramos aproximando as assimptotas; (iv) finalmente, desenhe linhas paralelas ao eixo z passando por cada ponto da curva — isso dá a superfície pedida.
Resposta
A superfície de nível é o conjunto
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x\,y\,(x-y)=1\},
ou seja, o cilindro com geratriz paralela ao eixo z e base a curva planar definida por x\,y\,(x-y)=1. Uma parametrização útil é