Represente graficamente o domínio da função z=f(x, y) dada por:
z={ }^{x-y}

Passo 1

O enunciado pede: "Represente graficamente o domínio da função z=f(x,y) dada por z={ }^{x-y}".
Informações relevantes que temos do enunciado: há um expoente x-y na definição de z, mas o enunciado, tal como está, não mostra explicitamente a base da potência (há um lugar em branco antes do expoente). A pergunta é apenas sobre o domínio (conjunto de pares (x,y) para os quais a expressão que define z está bem definida).
Portanto: precisamos identificar para quais (x,y)\in\mathbb{R}^2 a expressão "base elevada a x-y" é uma quantidade real bem definida. Como o enunciado não dá a base, vamos analisar os casos naturais de base (base real positiva, base zero e base real negativa), porque o domínio depende da escolha da base.

Passo 2

O que significa “domínio” aqui (mini-aula): o domínio de f é o conjunto de todos os pares (x,y) tais que a expressão que define z fornece um número real bem definido. Para uma expressão do tipo “base ^t” onde t=x-y, as regras usuais são:
  • Se a base a é um número real estritamente positivo ( a>0), então a^{t} está bem definido para todo t\in\mathbb{R}. Uma forma prática de ver isso é a identidade
a^{t}=e^{t\ln a},
onde \ln a existe porque a>0. Assim não há restrição sobre t.
  • Se a base é a=0, então 0^{t} está definido (como número real) apenas quando t>0; o valor 0^{t}=0 para t>0. O caso t=0 (ou seja 0^{0}) é indeterminado e 0^{t} para t<0 não é definido (é divisão por zero).
  • Se a base a<0, então para expoentes t reais genéricos a potência a^{t} não é um número real (porque envolve raízes de índice par de números negativos). Só para expoentes racionais na forma t=\frac{p}{q} com q ímpar e certos inteiros p,q teremos valores reais; isso torna o domínio muito irregular e não é a situação usual em funções elementares.

Passo 3

Análise do caso mais comum (base positiva), com explicação passo a passo: suponha que a base seja um número real fixo a>0. Então, para qualquer par (x,y)\in\mathbb{R}^2 o expoente t=x-y é um número real, e por causa da identidade
a^{x-y}=e^{(x-y)\ln a}
a expressão é bem definida (é um número real positivo). Logo, não há nenhuma restrição sobre x ou y: todo par (x,y) pertence ao domínio. Em notação:
\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}^2.
Didaticamente: na prova, se você reconhecer que a base é positiva (por exemplo a=e, a=2, etc.), explique que a exponenciação com base positiva aceita qualquer expoente real, então o domínio é todo o plano xy.

Passo 4

Análise de casos alternativos (útil para prova e para entender variações):
  • Se a base for a=0, a potência 0^{x-y} é definida somente quando x-y>0. Portanto o domínio seria o semi-plano
\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x-y>0\},
que é o conjunto de pontos estritamente abaixo da reta y=x (porque x-y>0 é equivalente a y<x). Importante: a reta y=x não está incluída porque em x-y=0 teríamos 0^{0}, que é indeterminado.
  • Se a base for negativa ( a<0), a potência a^{x-y} só é real para expoentes x-y pertencentes a um conjunto muito restrito (racionais com denominador ímpar quando colocados em forma irreduzível), portanto o domínio fica esparso e não é um conjunto aberto/convexo simples; normalmente nas questões de graduação esse caso não é considerado a menos que se especifique que se trabalha com expoentes racionais e com cuidados adicionais.

Passo 5

Como representar graficamente (instruções práticas para desenhar no caderno/prova):
  • Caso padrão (base positiva): desenhe os eixos x (horizontal) e y (vertical) e sombreie todo o plano — o domínio é todo o plano xy. Você pode escrever ao lado do desenho: \mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}^2.
  • Caso base 0: desenhe a reta y=x e sombree a região onde y<x (semi-plano abaixo da reta), sem incluir a própria reta; escreva \mathrm{Dom}(f)=\{(x,y):x-y>0\}.
  • Caso base negativa: indique que o domínio não é um conjunto contínuo e que, sem mais informações, não se trabalha esse caso em desenhos padrão.

Resposta

\mathrm{Dom}(f)=\mathbb{R}^2 (se a base da potência for um número real positivo).
\mathrm{Dom}(f)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x-y>0\} (se a base for 0).
Se a base for negativa, o domínio real fica restrito a expoentes racionais especiais e não é um conjunto simples.

Exercícios relacionados