Represente graficamente o domínio da função
dada por:
Passo 1
O enunciado pede: "Represente graficamente o domínio da função
dada por
".
Informações relevantes que temos do enunciado: há um expoente na definição de
, mas o enunciado, tal como está, não mostra explicitamente a base da potência (há um lugar em branco antes do expoente). A pergunta é apenas sobre o domínio (conjunto de pares
para os quais a expressão que define
está bem definida).
Portanto: precisamos identificar para quais a expressão "base elevada a
" é uma quantidade real bem definida. Como o enunciado não dá a base, vamos analisar os casos naturais de base (base real positiva, base zero e base real negativa), porque o domínio depende da escolha da base.
Informações relevantes que temos do enunciado: há um expoente
Portanto: precisamos identificar para quais
Passo 2
O que significa “domínio” aqui (mini-aula): o domínio de
é o conjunto de todos os pares
tais que a expressão que define
fornece um número real bem definido. Para uma expressão do tipo “base
” onde
, as regras usuais são:
- Se a base
é um número real estritamente positivo ( ), então está bem definido para todo . Uma forma prática de ver isso é a identidade
onde
existe porque
. Assim não há restrição sobre
.
- Se a base é
, então está definido (como número real) apenas quando ; o valor para . O caso (ou seja ) é indeterminado e para não é definido (é divisão por zero). - Se a base
, então para expoentes reais genéricos a potência não é um número real (porque envolve raízes de índice par de números negativos). Só para expoentes racionais na forma com ímpar e certos inteiros teremos valores reais; isso torna o domínio muito irregular e não é a situação usual em funções elementares.
Passo 3
Análise do caso mais comum (base positiva), com explicação passo a passo: suponha que a base seja um número real fixo
. Então, para qualquer par
o expoente
é um número real, e por causa da identidade
a expressão é bem definida (é um número real positivo). Logo, não há nenhuma restrição sobre
ou
: todo par
pertence ao domínio. Em notação:
Didaticamente: na prova, se você reconhecer que a base é positiva (por exemplo
,
, etc.), explique que a exponenciação com base positiva aceita qualquer expoente real, então o domínio é todo o plano
.
Passo 4
Análise de casos alternativos (útil para prova e para entender variações):
- Se a base for
, a potência é definida somente quando . Portanto o domínio seria o semi-plano
que é o conjunto de pontos estritamente abaixo da reta
(porque
é equivalente a
). Importante: a reta
não está incluída porque em
teríamos
, que é indeterminado.
- Se a base for negativa (
), a potência só é real para expoentes pertencentes a um conjunto muito restrito (racionais com denominador ímpar quando colocados em forma irreduzível), portanto o domínio fica esparso e não é um conjunto aberto/convexo simples; normalmente nas questões de graduação esse caso não é considerado a menos que se especifique que se trabalha com expoentes racionais e com cuidados adicionais.
Passo 5
Como representar graficamente (instruções práticas para desenhar no caderno/prova):
- Caso padrão (base positiva): desenhe os eixos
(horizontal) e (vertical) e sombreie todo o plano — o domínio é todo o plano . Você pode escrever ao lado do desenho: . - Caso base
: desenhe a reta e sombree a região onde (semi-plano abaixo da reta), sem incluir a própria reta; escreva . - Caso base negativa: indique que o domínio não é um conjunto contínuo e que, sem mais informações, não se trabalha esse caso em desenhos padrão.
Resposta
Se a base for negativa, o domínio real fica restrito a expoentes racionais especiais e não é um conjunto simples.