Calcule, caso exista:
lim (x, y) (0,0) x sen(y^2+x^2)^-1

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite lim(x,y)to(0,0)x,sinl((y^2+x^2)^-1r). O conteúdo aqui é limite de funções de duas variáveis e vamos precisar usar o fato de que a função sin é limitada e o teorema do confronto (também chamado de teorema do sanduíche).

Passo 2

Sabemos que para todo valor real t vale |sin t| <= 1. Assim, ao substituir t=(y^2+x^2)^-1 temos
|sinl((y^2+x^2)^-1r)| <= 1
Multiplicando ambos os lados por |x| (que é não negativo) obtemos
|x,sinl((y^2+x^2)^-1r)| <= |x|

Passo 3

Como $ (x,y)\to(0,0)$ implica (x,y)to(0,0), pelo teorema do confronto concluímos que
|x|to 0
e portanto
|x,sinl((y^2+x^2)^-1r)| to 0

Resposta

0

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