Transforme para coordenadas cartesianas a seguinte integral
I=integral-pi2^pi2 integral3 cos theta^3 sin theta d r d theta

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve transformar uma integral das coordenadas polares para as coordenadas cartesianas. Isso significa que vamos mudar a forma como estamos olhando para a região que a integral está cobrindo. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter os limites de integração e a própria função de coordenadas polares para cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, todo ponto é definido por dois valores: $ r $ (a distância do ponto até a origem) e $ \theta $ (o ângulo em relação ao eixo positivo $ x $). Nas coordenadas cartesianas, usamos $ x $ e $ y $.
A transformação entre as duas é dada por:
r
E o inverso:
theta

Passo 3

Vamos analisar os limites de integração na integral original:
theta in [-pi2, pi2]
r in [3 cos theta, 3]
Isso significa que o ângulo $ \theta $ varia de theta a -pi2, e para cada $ \theta $, $ r $ vai de $ 3 \cos \theta $ até 3.

Passo 4

Agora, precisamos entender a região que esses limites descrevem no plano cartesiano. A condição $ r = 3 \cos \theta $ representa uma circunferência com raio $ \frac{3}{2} $ centrada no ponto $ \left(\frac{3}{2}, 0\right) $. E $ r = 3 $ é simplesmente um círculo de raio 3 centrado na origem.
Portanto, estamos integrando sobre a região entre essas duas circunferências, de $ \theta = -\frac{\pi}{2} $ a $ \theta = \frac{\pi}{2} $, o que cobre a parte direita do plano $ xy $.

Passo 5

Para transformar a integral para coordenadas cartesianas, precisamos substituir $ r $ e $ \theta $ por $ x $ e $ y $. Também precisamos levar em conta o fator de transformação do diferencial de área. Em coordenadas polares, $ dA = r , dr , d\theta $, e em coordenadas cartesianas, $ dA = dx , dy $.
No nosso caso, a integral original é:
r
Vamos reescrever $ \sin \theta $ em termos de $ y $ e $ r $:
theta

Passo 6

Substituindo tudo na integral, temos:
I = integral integralRegião yraizx^2 + y^2 cdot 1raizx^2 + y^2 , dx , dy ã
Simplificando:
I = integral integralRegião yx^2 + y^2 , dx , dy ã

Passo 7

Agora, precisamos determinar os limites de integração em termos de $ x $ e $ y $. Como mencionamos, a região está entre $ x = 3 \cos \theta $ e $ r = 3 $.
Em coordenadas cartesianas:
x
y
Então, os limites para $ x $ vão de $ \frac{3}{2} $ a 3, e para cada $ x $, $ y $ varia de x = 3 cos theta a r = 3 .

Resposta

A integral transformada para coordenadas cartesianas fica:
I = integral32^3 integral-raiz9 - x^2^raiz9 - x^2 yx^2 + y^2 , dy , dx

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