Transforme para coordenadas cartesianas a seguinte integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício que envolve transformar uma integral das coordenadas polares para as coordenadas cartesianas. Isso significa que vamos mudar a forma como estamos olhando para a região que a integral está cobrindo. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter os limites de integração e a própria função de coordenadas polares para cartesianas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que nas coordenadas polares, todo ponto é definido por dois valores: $ r $ (a distância do ponto até a origem) e $ \theta $ (o ângulo em relação ao eixo positivo $ x $). Nas coordenadas cartesianas, usamos $ x $ e $ y $.
A transformação entre as duas é dada por:
E o inverso:
Passo 3
Vamos analisar os limites de integração na integral original:
Isso significa que o ângulo $ \theta $ varia de
a
, e para cada $ \theta $, $ r $ vai de $ 3 \cos \theta $ até 3.
Passo 4
Agora, precisamos entender a região que esses limites descrevem no plano cartesiano. A condição $ r = 3 \cos \theta $ representa uma circunferência com raio $ \frac{3}{2} $ centrada no ponto $ \left(\frac{3}{2}, 0\right) $. E $ r = 3 $ é simplesmente um círculo de raio 3 centrado na origem.
Portanto, estamos integrando sobre a região entre essas duas circunferências, de $ \theta = -\frac{\pi}{2} $ a $ \theta = \frac{\pi}{2} $, o que cobre a parte direita do plano $ xy $.
Passo 5
Para transformar a integral para coordenadas cartesianas, precisamos substituir $ r $ e $ \theta $ por $ x $ e $ y $. Também precisamos levar em conta o fator de transformação do diferencial de área. Em coordenadas polares, $ dA = r , dr , d\theta $, e em coordenadas cartesianas, $ dA = dx , dy $.
No nosso caso, a integral original é:
Vamos reescrever $ \sin \theta $ em termos de $ y $ e $ r $:
Passo 6
Substituindo tudo na integral, temos:
Simplificando:
Passo 7
Agora, precisamos determinar os limites de integração em termos de $ x $ e $ y $. Como mencionamos, a região está entre $ x = 3 \cos \theta $ e $ r = 3 $.
Em coordenadas cartesianas:
Então, os limites para $ x $ vão de $ \frac{3}{2} $ a 3, e para cada $ x $, $ y $ varia de
a
.
Resposta
A integral transformada para coordenadas cartesianas fica: