Considere a seguinte expressão:
$$
I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \int_{y}{\sqrt{1-y{2}}} \frac{2 x+4 y}{\sqrt{x{2}+y{2}}} d x d y$.
(a) Reescreva a expressão dada, invertendo sua ordem de integração.
I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \int_{y}{\sqrt{1-y{2}}} \frac{2 x+4 y}{\sqrt{x{2}+y{2}}} d x d y$.
(a) Reescreva a expressão dada, invertendo sua ordem de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla e a tarefa é inverter a ordem de integração. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais precisamente sobre integrais duplas e as regiões de integração. Para fazer isso, vamos precisar entender como a área de integração está definida inicialmente e depois reorganizar os limites de acordo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites originais da integral. A integral dada é:
Aqui, $ y $ varia de 0 até $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Para cada valor de $ y $, $ x $ varia de $ y $ até $ \sqrt{1 - y^{2}} $. Então, a região de integração está limitada por $ y = 0 $, $ x = y $ e $ x = \sqrt{1 - y^{2}} $.
Passo 3
Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos determinar os novos limites para $ x $ e $ y $.
Primeiro, observamos que $ x $ varia desde o ponto onde $ x = y $ até $ x = \sqrt{1 - y^{2}} $. Mas agora, queremos que $ x $ seja o primeiro a variar. Então, observamos os valores mínimos e máximos de $ x $ na região de integração.
Quando $ y = 0 $, $ x $ varia de 0 até 1 (pois $ \sqrt{1 - 0^{2}} = 1 $). Quando $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ x $ também é $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ (pois $ x = y $ nesse ponto). Portanto, $ x $ varia de 0 até 1.
Passo 4
Para cada valor de $ x $, precisamos determinar os limites de $ y $. Observando a região de integração:
- O limite inferior de $ y $ é sempre 0.
- O limite superior de $ y $ é definido pela linha $ y = x $ e pela curva $ y = \sqrt{1 - x^{2}} $.
A interseção dessas duas curvas ocorre quando $ x = \sqrt{1 - x^{2}} $. Resolvendo isso:
Então, para $ x $ de 0 a $ \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ y $ varia de 0 até $ x $. E para $ x $ de $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ a 1, $ y $ varia de 0 até $ \sqrt{1 - x^{2}} $.
Passo 5
Agora, colocando tudo isso na integral com a ordem invertida:
Para $ x $ de 0 a $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:
E para $ x $ de $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ a 1:
Resposta
A expressão da integral com a ordem de integração invertida é: