Considere a seguinte expressão:
$$
I=\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}}{2}} \int_{y}{\sqrt{1-y{2}}} \frac{2 x+4 y}{\sqrt{x{2}+y{2}}} d x d y$.
(a) Reescreva a expressão dada, invertendo sua ordem de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral dupla e a tarefa é inverter a ordem de integração. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais precisamente sobre integrais duplas e as regiões de integração. Para fazer isso, vamos precisar entender como a área de integração está definida inicialmente e depois reorganizar os limites de acordo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites originais da integral. A integral dada é:
I = integral0^raiz22 integraly^raiz1 - y^2 2x + 4yraizx^2 + y^2 , dx , dy
Aqui, $ y $ varia de 0 até $ \frac{\sqrt{2}}{2} $. Para cada valor de $ y $, $ x $ varia de $ y $ até $ \sqrt{1 - y^{2}} $. Então, a região de integração está limitada por $ y = 0 $, $ x = y $ e $ x = \sqrt{1 - y^{2}} $.

Passo 3

Agora, vamos inverter a ordem de integração. Para isso, precisamos determinar os novos limites para $ x $ e $ y $.
Primeiro, observamos que $ x $ varia desde o ponto onde $ x = y $ até $ x = \sqrt{1 - y^{2}} $. Mas agora, queremos que $ x $ seja o primeiro a variar. Então, observamos os valores mínimos e máximos de $ x $ na região de integração.
Quando $ y = 0 $, $ x $ varia de 0 até 1 (pois $ \sqrt{1 - 0^{2}} = 1 $). Quando $ y = \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ x $ também é $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ (pois $ x = y $ nesse ponto). Portanto, $ x $ varia de 0 até 1.

Passo 4

Para cada valor de $ x $, precisamos determinar os limites de $ y $. Observando a região de integração:
  • O limite inferior de $ y $ é sempre 0.
  • O limite superior de $ y $ é definido pela linha $ y = x $ e pela curva $ y = \sqrt{1 - x^{2}} $.
A interseção dessas duas curvas ocorre quando $ x = \sqrt{1 - x^{2}} $. Resolvendo isso:
x
Então, para $ x $ de 0 a $ \frac{\sqrt{2}}{2} $, $ y $ varia de 0 até $ x $. E para $ x $ de $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ a 1, $ y $ varia de 0 até $ \sqrt{1 - x^{2}} $.

Passo 5

Agora, colocando tudo isso na integral com a ordem invertida:
Para $ x $ de 0 a $ \frac{\sqrt{2}}{2} $:
x
E para $ x $ de $ \frac{\sqrt{2}}{2} $ a 1:
raiz22

Resposta

A expressão da integral com a ordem de integração invertida é:
I = integral0^raiz22 integral0^x 2x + 4yraizx^2 + y^2 , dy , dx + integralraiz22^1 integral0^raiz1 - x^2 2x + 4yraizx^2 + y^2 , dy , dx

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