Considere a seguinte expressão:
(b) Calcule o valor numérico de
, adotando a melhor expressão para isso.
Passo 1
A gente precisa calcular o valor numérico da integral dupla
O conteúdo envolve mudança de ordem de integração em uma região do plano e depois uma substituição simples para resolver a integral resultante.
Passo 2
Vamos entender a região de integração. Para 0\le x\le1 temos 0\le y\le x^{2} e para 1\le x\le\sqrt2 temos 0\le y\le2-x^{2}. Graficamente, isso forma uma “curva de subida” y=x^{2} até x=1 e depois uma “curva de descida” y=2-x^{2} até x=\sqrt2, sempre acima do eixo y=0.
Passo 3
Agora invertemos a ordem: note que a altura máxima é y=1 (no ponto x=1). Para cada y em [0,1], x varia de x=\sqrt{y} (de y=x^{2}) até x=\sqrt{2-y} (de y=2-x^{2}). Assim
Passo 4
Dentro dessa integral,
não depende de x. Então fazemos
Logo
Passo 5
Agora faça a substituição
. Daí
, ou seja
. Quando y=0, u=1; quando y=1, u=0. Então
E
Resposta
I=\tfrac12\sin(1)\approx0,4207