Considere a seguinte expressão:
I=integral0^1 integral0^x^2 x cos ((1-y)^2) d y d x+integral1^raiz2 integral0^2-x^2 x cos ((1-y)^2) d y d x
(b) Calcule o valor numérico de I, adotando a melhor expressão para isso.

Passo 1

A gente precisa calcular o valor numérico da integral dupla
I=integral0^1integral0^x^2 xcosl((1-y)^2r),dy,dx + integral1^raiz2integral0^2-x^2 xcosl((1-y)^2r),dy,dx
O conteúdo envolve mudança de ordem de integração em uma região do plano e depois uma substituição simples para resolver a integral resultante.

Passo 2

Vamos entender a região de integração. Para 0\le x\le1 temos 0\le y\le x^{2} e para 1\le x\le\sqrt2 temos 0\le y\le2-x^{2}. Graficamente, isso forma uma “curva de subida” y=x^{2} até x=1 e depois uma “curva de descida” y=2-x^{2} até x=\sqrt2, sempre acima do eixo y=0.

Passo 3

Agora invertemos a ordem: note que a altura máxima é y=1 (no ponto x=1). Para cada y em [0,1], x varia de x=\sqrt{y} (de y=x^{2}) até x=\sqrt{2-y} (de y=2-x^{2}). Assim
I=integraly=0^1integralx=raiz y^raiz2-y xcosl((1-y)^2r),dx,dy

Passo 4

Dentro dessa integral, cos((1-y)^2) não depende de x. Então fazemos
integralx=raiz y^raiz2-y x,dx=12l[x^2r]x=raiz y^x=raiz2-y=12l((2-y)-yr)=1-y
Logo
I=integral0^1(1-y)cosl((1-y)^2r),dy

Passo 5

Agora faça a substituição u=(1-y)^2. Daí du=-2(1-y),dy, ou seja (1-y),dy=-tfrac12du. Quando y=0, u=1; quando y=1, u=0. Então
I=integraly=0^1(1-y)cos((1-y)^2),dy=integralu=1^0cos(u)l(-tfrac12dur)=tfrac12integral0^1cos(u),du
E
tfrac12integral0^1cos(u),du=tfrac12[sin(u)]0^1=tfrac12sin(1)

Resposta

I=\tfrac12\sin(1)\approx0,4207

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