Calcule, caso exista.
lim (x, y) (0,0) 2 x^2-y^2x^2+2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que você enviou:
lim (x, y) (0,0) 2 x^2-y^2x^2+2 y^2
Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar entender como analisar o comportamento da função quando os dois e se aproximam de zero. Vamos dividir a resolução em passos para facilitar o entendimento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular esse limite. Em funções de duas variáveis, o limite quando se aproxima de existe se, independente do caminho que usamos para chegar a , o resultado for sempre o mesmo.

Passo 3

Vamos testar alguns caminhos diferentes para ver se o limite é consistente. Um caminho comum é deixar 2 x^2-0^2x^2+2 cdot 0^2 = 2 x^2x^2 = 2 e ver o que acontece com a função conforme se aproxima de 0.
Substituindo na função, temos:
Então, ao longo do caminho , o limite é 2.

Passo 4

Agora, vamos testar outro caminho. Vamos deixar 2 cdot 0^2-y^20^2+2 y^2 = -y^22 y^2 = -12 e ver o que acontece conforme se aproxima de 0.
Substituindo na função, temos:
Então, ao longo do caminho , o limite é .

Passo 5

Observamos que ao usar dois caminhos diferentes, obtenhamos limites diferentes: 2 e . Isso significa que o limite depende do caminho que escolhemos para nos aproximar de .

Resposta

Como encontramos limites diferentes ao seguir caminhos distintos, concluímos que o limite
lim (x, y) (0,0) 2 x^2-y^2x^2+2 y^2
não existe.

Exercícios relacionados