Observe que para as funções
e
, temos que
Isso implica que as funções
e
são linearmente dependentes em qualquer intervalo contendo
?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está perguntando. Temos duas funções:
-
(uma função constante) -
(uma função exponencial)
O exercício nos mostra que quando substituímos
nessas funções, a combinação
. A pergunta é: isso significa que as funções
e
são linearmente dependentes em qualquer intervalo que contenha
?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa funções serem linearmente dependentes e aplicar esse conceito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa funções serem linearmente dependentes. Duas funções
e
são linearmente dependentes em um intervalo se existir constantes
e
, não ambas zero, tais que:
Ou seja, uma das funções pode ser escrita como múltiplo da outra em todo o intervalo.
Passo 3
No exercício, vemos que para
:
Vamos calcular isso para entender melhor:
Então, de fato, a combinação
resulta em zero, mas isso acontece apenas no ponto
.
Passo 4
Agora, para afirmar que
e
são linearmente dependentes em um intervalo, essa relação precisa valer para todos os valores de
nesse intervalo, não apenas para
.
Vamos testar para outro ponto, por exemplo,
:
Aqui, a combinação não resulta em zero. Isso mostra que a relação não se mantém para todos os
no intervalo.
Passo 5
Além disso, observamos que
é uma função constante, enquanto
é uma função que cresce exponencialmente. Não há uma constante
tal que
para todo
. Isso reforça que as funções não são múltiplos uma da outra em todo o intervalo.
Resposta
Não, as funções
e
não são linearmente dependentes em qualquer intervalo que contenha
.