Observe que para as funções f1(x)=2 e f2(x)=e^x, temos que
1 cdot f1(0)-2 cdot f2(0)=0
Isso implica que as funções f1 e f2 são linearmente dependentes em qualquer intervalo contendo x=0?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está perguntando. Temos duas funções:
  • f1(x) = 2 (uma função constante)
  • f2(x) = e^x (uma função exponencial)
O exercício nos mostra que quando substituímos x = 0 nessas funções, a combinação 1 cdot f1(0) - 2 cdot f2(0) = 0 . A pergunta é: isso significa que as funções f1 e f2 são linearmente dependentes em qualquer intervalo que contenha x = 0 ?
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa funções serem linearmente dependentes e aplicar esse conceito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa funções serem linearmente dependentes. Duas funções f1 e f2 são linearmente dependentes em um intervalo se existir constantes a e b , não ambas zero, tais que:
a cdot f1(x) + b cdot f2(x) = 0 para todo x no intervalo
Ou seja, uma das funções pode ser escrita como múltiplo da outra em todo o intervalo.

Passo 3

No exercício, vemos que para x = 0 :
1 cdot f1(0) - 2 cdot f2(0) = 0
Vamos calcular isso para entender melhor:
f1(0) = 2
f2(0) = e^0 = 1
1 cdot 2 - 2 cdot 1 = 2 - 2 = 0
Então, de fato, a combinação 1 cdot f1(0) - 2 cdot f2(0) resulta em zero, mas isso acontece apenas no ponto x = 0 .

Passo 4

Agora, para afirmar que f1 e f2 são linearmente dependentes em um intervalo, essa relação precisa valer para todos os valores de x nesse intervalo, não apenas para x = 0 .
Vamos testar para outro ponto, por exemplo, x = 1 :
f1(1) = 2
f2(1) = e^1 approx 2,718
1 cdot 2 - 2 cdot 2,718 approx 2 - 5,436 = -3,436 neq 0
Aqui, a combinação não resulta em zero. Isso mostra que a relação não se mantém para todos os x no intervalo.

Passo 5

Além disso, observamos que f1(x) = 2 é uma função constante, enquanto f2(x) = e^x é uma função que cresce exponencialmente. Não há uma constante k tal que f1(x) = k cdot f2(x) para todo x . Isso reforça que as funções não são múltiplos uma da outra em todo o intervalo.

Resposta

Não, as funções f1 e f2 não são linearmente dependentes em qualquer intervalo que contenha x = 0 .

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