Deseja-se construir um canal de seção trapezoïdal. Calcule o ângulo de inclinação das paredes laterais em relação à base menor, tal que a vazão do canal seja máxima.

Passo 1

Resumo: Queremos achar o ângulo de inclinação θ das faces laterais de um canal trapezoidal (base menor b, profundidade y e talude m:1) em relação à base, de modo a maximizar a vazão Q. O conteúdo que vamos usar é a fórmula de Manning (
Q=(1/n) A R^{2/3} S^{1/2}
) e o conceito de raio hidráulico R=A/P.

Passo 2

Para maximizar Q para n e S constantes, basta maximizar A R^{2/3}. Se fixarmos a área A, maximizar Q é equivalente a maximizar o raio hidráulico R=A/P.

Passo 3

Descrevendo a geometria: a área molhada é
A = b,y + m,y^2
o perímetro molhado é
P = b + 2,yraiz1+m^2.

Passo 4

Introduzimos a razão λ = b/y. Assim
A = y^2(λ + m), P = yl(λ + 2raiz1+m^2r),
o que dá
R = AP = yλ + mλ + 2raiz1+m^2

Passo 5

Como A é fixo, escrevemos
y = raizAλ + m,
portanto
R = raizA,raizλ + mλ + 2raiz1+m^2

Passo 6

Para cada m, escolhemos λ que maximiza R. Equivalente a maximizar R^2:
R^2 propto λ + m(λ + 2raiz1+m^2)^2
Fazendo ∂/∂λ=0, encontra-se
λ = 2l(raiz1+m^2 - mr)

Passo 7

Substituindo esse λ em R^2 obtém-se
R^2 propto 14l(2raiz1+m^2-mr)
Para achar o m ótimo, minimizamos o denominador g(m)=2\sqrt{1+m^2}-m. Derivando e igualando a zero:
g'(m)=2mraiz1+m^2-1=0
o que leva a
m^2=tfrac13, m=tfrac1raiz3

Passo 8

Com m=1/√3, a inclinação lateral mede-se pela razão vertical/horizontal =1/m=√3. O ângulo θ entre a face e a base é
θ = arctanl(tfrac1mr)=arctan(raiz3)=60^circ

Resposta

60°

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