Deseja-se construir um canal de seção trapezoïdal. Calcule o ângulo de inclinação das paredes laterais em relação à base menor, tal que a vazão do canal seja máxima.
Passo 1
Resumo: Queremos achar o ângulo de inclinação θ das faces laterais de um canal trapezoidal (base menor b, profundidade y e talude m:1) em relação à base, de modo a maximizar a vazão Q. O conteúdo que vamos usar é a fórmula de Manning (
Q=(1/n) A R^{2/3} S^{1/2}
) e o conceito de raio hidráulico R=A/P.
Q=(1/n) A R^{2/3} S^{1/2}
) e o conceito de raio hidráulico R=A/P.
Passo 2
Para maximizar Q para n e S constantes, basta maximizar A R^{2/3}. Se fixarmos a área A, maximizar Q é equivalente a maximizar o raio hidráulico R=A/P.
Passo 3
Descrevendo a geometria: a área molhada é
o perímetro molhado é
Passo 4
Introduzimos a razão
. Assim
o que dá
Passo 5
Como A é fixo, escrevemos
portanto
Passo 6
Para cada m, escolhemos λ que maximiza R. Equivalente a maximizar R^2:
Fazendo ∂/∂λ=0, encontra-se
Passo 7
Substituindo esse λ em R^2 obtém-se
Para achar o m ótimo, minimizamos o denominador g(m)=2\sqrt{1+m^2}-m. Derivando e igualando a zero:
o que leva a
Passo 8
Com m=1/√3, a inclinação lateral mede-se pela razão vertical/horizontal =1/m=√3. O ângulo θ entre a face e a base é
Resposta
60°