Calcule a integral
integral x^2 raizx-1 d x por dois métodos:

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x^2raizx-1,dx
por dois métodos. O conteúdo envolve técnicas de substituição para transformar a raiz num polinômio e integração por partes para decompor o integrando em fatores mais fáceis.

Passo 2

Método 1 – Substituição direta
Faça
u = x - 1Longrightarrow x = u + 1, dx = du
Além disso raizx-1 = raizu = u^1/2. Substituindo no integrando:
x^2raizx-1,dx = (u+1)^2,u^1/2,du

Passo 3

Expanda (u+1)^2 = u^2 + 2u + 1. Assim
(u+1)^2u^1/2 = u^2+tfrac12 + 2u^1+tfrac12 + u^tfrac12 = u^5/2 + 2u^3/2 + u^1/2
Logo a integral fica
integral x^2raizx-1,dx = integrall(u^5/2+2u^3/2+u^1/2r),du
Integre termo a termo usando integral u^alphadu = u^alpha+1/(alpha+1):
integral u^5/2du = u^7/27/2 = 27u^7/2, integral 2u^3/2du = 2cdot25u^5/2 = 45u^5/2, integral u^1/2du = 23u^3/2

Passo 4

Somando,
integral x^2raizx-1,dx = 27u^7/2 + 45u^5/2 + 23u^3/2 + C
Reescrevendo u = x-1,
boxedF(x) = 27(x-1)^7/2 + 45(x-1)^5/2 + 23(x-1)^3/2 + C

Passo 5

Método 2 – Integração por partes
Escolha
u = raizx-1 = (x-1)^1/2, dv = x^2dx
Então
du = 12(x-1)^-1/2,dx, v = x^33
Pela fórmula integral u,dv = uv - integral v,du,
integral x^2raizx-1,dx = x^33(x-1)^1/2 - integral x^33cdot 12(x-1)^-1/2,dx
Isto é
= x^33raizx-1 - 16integral x^3(x-1)^-1/2,dx

Passo 6

Para a integral integral x^3(x-1)^-1/2dx volte à substituição u = x-1, x = u+1, dx=du. Então
x^3(x-1)^-1/2dx = (u+1)^3u^-1/2,du = l(u^3+3u^2+3u+1r)u^-1/2du = u^5/2+3u^3/2+3u^1/2+u^-1/2
Integrando cada termo,
integral u^5/2du = 27u^7/2,; integral 3u^3/2du = 3cdot25u^5/2=65u^5/2,; integral 3u^1/2du = 3cdot23u^3/2=2u^3/2,; integral u^-1/2du = 2u^1/2
Logo
integral x^3(x-1)^-1/2dx = 27u^7/2 + 65u^5/2 + 2u^3/2 + 2u^1/2 + C

Passo 7

Voltando a u = x-1 e substituindo em
integral x^2raizx-1,dx = x^33raizx-1 - 16l[27(x-1)^7/2 + 65(x-1)^5/2 + 2(x-1)^3/2 + 2(x-1)^1/2r] + C,
é possível rearranjar e obter a mesma forma de F(x) do Método 1:
F(x) = 27(x-1)^7/2 + 45(x-1)^5/2 + 23(x-1)^3/2 + C

Resposta

boxed,integral x^2raizx-1,dx = 27(x-1)^7/2 + 45(x-1)^5/2 + 23(x-1)^3/2 + C

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