Determine (caso existam) os seguintes limites:
Passo 1
Vamos resolver o limite $ \lim _{x \rightarrow 7} \frac{x^{3}-7 x^{2}-2 x+14}{x^{2}-7 x} $. Esse problema está relacionado ao estudo de limites em Cálculo, especialmente quando a substituição direta de $ x = 7 $ resulta em uma forma indeterminada do tipo
. Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão, fatorar o numerador e o denominador, e então cancelar termos comuns.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos $ x = 7 $ diretamente na expressão:
Isso nos dá uma forma indeterminada
, então precisamos simplificar a expressão.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador $ x^{3} - 7x^{2} - 2x + 14 $. Para isso, podemos tentar fatorar por agrupamento:
Então, o numerador fatorado é $ (x^{2} - 2)(x - 7) $.
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador $ x^{2} - 7x $:
Então, o denominador fatorado é $ x(x - 7) $.
Passo 5
Substituindo as expressões fatoradas no limite, temos:
Podemos cancelar o termo comum $ (x - 7) $ no numerador e no denominador:
Passo 6
Agora, substituímos $ x = 7 $ na expressão simplificada:
Resposta
O limite é $ \frac{47}{7} $.