Determine (caso existam) os seguintes limites:
lim x 7 x^3-7 x^2-2 x+14x^2-7 x

Passo 1

Vamos resolver o limite $ \lim _{x \rightarrow 7} \frac{x^{3}-7 x^{2}-2 x+14}{x^{2}-7 x} $. Esse problema está relacionado ao estudo de limites em Cálculo, especialmente quando a substituição direta de $ x = 7 $ resulta em uma forma indeterminada do tipo lim x 7 x^3-7 x^2-2 x+14x^2-7 x . Para resolver, vamos precisar simplificar a expressão, fatorar o numerador e o denominador, e então cancelar termos comuns.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos $ x = 7 $ diretamente na expressão:
x = 7
Isso nos dá uma forma indeterminada 7^3 - 7 cdot 7^2 - 2 cdot 7 + 147^2 - 7 cdot 7 = 343 - 343 - 14 + 1449 - 49 = 00 , então precisamos simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador $ x^{3} - 7x^{2} - 2x + 14 $. Para isso, podemos tentar fatorar por agrupamento:
x^3 - 7x^2 - 2x + 14
Então, o numerador fatorado é $ (x^{2} - 2)(x - 7) $.

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador $ x^{2} - 7x $:
x^2 - 7x
Então, o denominador fatorado é $ x(x - 7) $.

Passo 5

Substituindo as expressões fatoradas no limite, temos:
lim x 7 (x^2 - 2)(x - 7)x(x - 7)
Podemos cancelar o termo comum $ (x - 7) $ no numerador e no denominador:
(x - 7)

Passo 6

Agora, substituímos $ x = 7 $ na expressão simplificada:
x = 7

Resposta

O limite é $ \frac{47}{7} $.

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