Calcule, caso exista, o limite da sequência:
a_{n}=\frac{2 n^{3}-5 n+1}{7 n^{3}+n^{2}-4}
(Observação: você sabe dizer se a série de termo geral acima converge?)

Passo 1

O enunciado dá a sequência
a_{n}=\frac{2 n^{3}-5 n+1}{7 n^{3}+n^{2}-4}
e pede duas coisas:
  • Calcular, caso exista, o limite \lim_{n\to\infty} a_{n}.
  • Dizer se a série de termo geral a_{n}, isto é a soma \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}, converge ou diverge.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita de a_{n} em termos de n.
  • Não há outras condições adicionais; portanto assumir n inteiro positivo indo para o infinito.

Passo 2

O que significa encontrar \lim_{n\to\infty} a_{n}: queremos o valor para o qual os termos a_{n} se aproximam quando n cresce sem limite. Uma técnica prática para frações de polinômios é comparar os termos de maior grau nos polinômios do numerador e do denominador — esses termos dominam o comportamento quando n é grande. Aqui os maiores graus em numerador e denominador são n^{3}.
Vou usar uma operação simples e segura: dividir numerador e denominador por n^{3}, para deixar explícitos os termos que tendem a zero.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por n^{3} obtemos
a_{n}=\frac{2 n^{3}-5 n+1}{7 n^{3}+n^{2}-4} =\frac{\dfrac{2 n^{3}}{n^{3}}-\dfrac{5 n}{n^{3}}+\dfrac{1}{n^{3}}}{\dfrac{7 n^{3}}{n^{3}}+\dfrac{n^{2}}{n^{3}}-\dfrac{4}{n^{3}}}.
Simplificando cada fração,
a_{n}=\frac{2-\dfrac{5}{n^{2}}+\dfrac{1}{n^{3}}}{7+\dfrac{1}{n}-\dfrac{4}{n^{3}}}.

Passo 4

Agora use a propriedade básica de limites: se cada uma das sequências envolvidas tem limite e o limite do denominador não é zero, o limite do quociente é o quociente dos limites. Observe que, quando n\to\infty,
\frac{5}{n^{2}}\to 0,\qquad \frac{1}{n^{3}}\to 0,\qquad \frac{1}{n}\to 0,\qquad \frac{4}{n^{3}}\to 0.
Portanto os termos “pequenos” desaparecem no limite e ficamos com constantes no numerador e denominador.

Passo 5

Tomando limite em ambos os lados,
\lim_{n\to\infty} a_{n} =\frac{\displaystyle\lim_{n\to\infty}\!\left(2-\frac{5}{n^{2}}+\frac{1}{n^{3}}\right)} {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\!\left(7+\frac{1}{n}-\frac{4}{n^{3}}\right)} =\frac{2-0+0}{7+0-0}=\frac{2}{7}.
Portanto a sequência converge e seu limite é \dfrac{2}{7}.

Passo 6

Agora sobre a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}: existe um teste muito simples e indispensável — o teste do termo geral (ou condição necessária para convergência de séries): se a série \sum a_{n} converge, então necessariamente \lim_{n\to\infty} a_{n}=0. Em palavras: termos de uma série convergente têm de tender a zero.

Passo 7

No nosso caso encontramos \lim_{n\to\infty} a_{n}=\dfrac{2}{7}\neq 0. Logo a condição necessária para convergência não é satisfeita. Portanto a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} não converge (ou seja, diverge).
Uma forma intuitiva de ver isso é notar que para n grande a_{n} fica próximo de \dfrac{2}{7}, então as somas parciais se comportam como soma de termos aproximadamente constantes \dfrac{2}{7}, cujo somatório cresce aproximadamente como \dfrac{2}{7}n — diverge para infinito.

Passo 8

Resumo didático rápido (para lembrar na prova):
  • Para sequências racionais de polinômios, divida numerador e denominador pela maior potência de n presente para identificar os termos que vão a zero.
  • Para uma série \sum a_{n} convergir, é necessário (mas não suficiente) que a_{n}\to 0. Se a_{n}\not\to 0, a série definitivamente diverge.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=\frac{2}{7}
A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} diverge (não converge), pois a_{n}\not\to 0.

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