Calcule, caso exista, o limite da sequência:
(Observação: você sabe dizer se a série de termo geral acima converge?)
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede duas coisas:
- Calcular, caso exista, o limite
. - Dizer se a série de termo geral
, isto é a soma , converge ou diverge.
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula explícita de
em termos de . - Não há outras condições adicionais; portanto assumir
inteiro positivo indo para o infinito.
Passo 2
O que significa encontrar
: queremos o valor para o qual os termos
se aproximam quando
cresce sem limite. Uma técnica prática para frações de polinômios é comparar os termos de maior grau nos polinômios do numerador e do denominador — esses termos dominam o comportamento quando
é grande. Aqui os maiores graus em numerador e denominador são
.
Vou usar uma operação simples e segura: dividir numerador e denominador por
, para deixar explícitos os termos que tendem a zero.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
obtemos
Simplificando cada fração,
Passo 4
Agora use a propriedade básica de limites: se cada uma das sequências envolvidas tem limite e o limite do denominador não é zero, o limite do quociente é o quociente dos limites. Observe que, quando
,
Portanto os termos “pequenos” desaparecem no limite e ficamos com constantes no numerador e denominador.
Passo 5
Tomando limite em ambos os lados,
Portanto a sequência converge e seu limite é
.
Passo 6
Agora sobre a série
: existe um teste muito simples e indispensável — o teste do termo geral (ou condição necessária para convergência de séries): se a série
converge, então necessariamente
. Em palavras: termos de uma série convergente têm de tender a zero.
Passo 7
No nosso caso encontramos
. Logo a condição necessária para convergência não é satisfeita. Portanto a série
não converge (ou seja, diverge).
Uma forma intuitiva de ver isso é notar que para
grande
fica próximo de
, então as somas parciais se comportam como soma de termos aproximadamente constantes
, cujo somatório cresce aproximadamente como
— diverge para infinito.
Passo 8
Resumo didático rápido (para lembrar na prova):
- Para sequências racionais de polinômios, divida numerador e denominador pela maior potência de
presente para identificar os termos que vão a zero. - Para uma série
convergir, é necessário (mas não suficiente) que . Se , a série definitivamente diverge.
Resposta
A série
diverge (não converge), pois
.