(Devore adaptado) Para cada variável aleatória definida a seguir, descreva o conjunto de valores possíveis da variável e diga se é discreta.
número de ovos não quebrados em uma caixa de ovos com 20 ovos selecionada aleatoriamente.
Passo 1
O enunciado dá uma variável aleatória
definida como “número de ovos não quebrados em uma caixa de ovos com
ovos selecionada aleatoriamente”. O que é pedido:
- Descrever o conjunto de valores possíveis de
(isto é, o suporte da variável). - Dizer se
é discreta ou não.
Informações relevantes dadas:
- O total de ovos na caixa é
. - Cada ovo, ao ser observado, pode estar “não quebrado” ou “quebrado” (duas possibilidades para cada ovo).
-
conta quantos, entre os , estão não quebrados.
Passo 2
Entendendo como a variável é formada, passo a passo, de um jeito bem prático:
- Para cada ovo
está não quebrado},\[4pt] 0, & se o ovo
está quebrado. \end{cases}]
Aqui cada
só pode assumir os valores
. Isso é útil porque então
Essa representação explicita que
é a soma de
números que são
ou
.]
Passo 3
A partir da soma acima, raciocínio sobre extremos e possíveis valores:
- Se todos os ovos estiverem quebrados, então todos os
e . - Se nenhum ovo estiver quebrado, então todos os
e . - Como cada
só pode aumentar em unidades inteiras ( ou ), o valor de só pode ser um número inteiro entre e .
Portanto o conjunto de valores possíveis é
Passo 4
Por que não podem aparecer valores como
ou
?
- É impossível ter “meio ovo não quebrado” na contagem: a contagem é feita por unidades inteiras de ovos. Cada ovo contribui
ou para a soma. - Logo todos os valores da variável são inteiros.
Passo 5
Agora, sobre ser discreta ou contínua:
- Uma variável aleatória é dita discreta quando seu conjunto de valores possíveis é um conjunto contável (por exemplo, finito ou enumerável) — normalmente inteiros
. - É contínua quando pode assumir qualquer valor em um intervalo real (por exemplo, qualquer número real entre
e ). - Como o suporte de
é o conjunto finito , ele é incontestavelmente um conjunto contável e finito. Portanto é uma variável aleatória discreta.
Passo 6
(Uma observação útil para prova / aplicação.) Se, além disso, assumirmos que cada ovo tem a mesma probabilidade
de estar não quebrado e que os ovos são independentes entre si, então
segue uma distribuição binomial com parâmetros
e
. Nesse caso a função de massa de probabilidade é
onde
é o número de maneiras de escolher quais
ovos (entre os
) estão não quebrados. Isso não era pedido, mas é um modelo padrão para essa situação e pode aparecer em provas.
Resposta
Sim —