(Devore adaptado) Para cada variável aleatória definida a seguir, descreva o conjunto de valores possíveis da variável e diga se é discreta.
X= número de ovos não quebrados em uma caixa de ovos com 20 ovos selecionada aleatoriamente.

Passo 1

O enunciado dá uma variável aleatória X definida como “número de ovos não quebrados em uma caixa de ovos com 20 ovos selecionada aleatoriamente”. O que é pedido:
  • Descrever o conjunto de valores possíveis de X (isto é, o suporte da variável).
  • Dizer se X é discreta ou não.
Informações relevantes dadas:
  • O total de ovos na caixa é 20.
  • Cada ovo, ao ser observado, pode estar “não quebrado” ou “quebrado” (duas possibilidades para cada ovo).
  • X conta quantos, entre os 20, estão não quebrados.

Passo 2

Entendendo como a variável é formada, passo a passo, de um jeito bem prático:
  • Para cada ovo i\) (com \(i=1,2,\dots,20\)) pode-se definir a variável indicadora \[I_i = \begin{cases} 1, & \text{se o ovo \(i está não quebrado},\[4pt] 0, & se o ovo i está quebrado. \end{cases}]
Aqui cada I_i só pode assumir os valores \{0,1\}. Isso é útil porque então
X = \sum_{i=1}^{20} I_i.
Essa representação explicita que X é a soma de 20 números que são 0 ou 1.]

Passo 3

A partir da soma acima, raciocínio sobre extremos e possíveis valores:
  • Se todos os ovos estiverem quebrados, então todos os I_i=0 e X=0.
  • Se nenhum ovo estiver quebrado, então todos os I_i=1 e X=20.
  • Como cada I_i só pode aumentar X em unidades inteiras ( 0 ou 1), o valor de X só pode ser um número inteiro entre 0 e 20.
    Portanto o conjunto de valores possíveis é
\{0,1,2,\ldots,20\}.

Passo 4

Por que não podem aparecer valores como 3{,}5 ou 10{,}2?
  • É impossível ter “meio ovo não quebrado” na contagem: a contagem é feita por unidades inteiras de ovos. Cada ovo contribui 0 ou 1 para a soma.
  • Logo todos os valores da variável são inteiros.

Passo 5

Agora, sobre ser discreta ou contínua:
  • Uma variável aleatória é dita discreta quando seu conjunto de valores possíveis é um conjunto contável (por exemplo, finito ou enumerável) — normalmente inteiros 0,1,2,\dots.
  • É contínua quando pode assumir qualquer valor em um intervalo real (por exemplo, qualquer número real entre 0 e 1).
  • Como o suporte de X é o conjunto finito \{0,1,\ldots,20\}, ele é incontestavelmente um conjunto contável e finito. Portanto X é uma variável aleatória discreta.

Passo 6

(Uma observação útil para prova / aplicação.) Se, além disso, assumirmos que cada ovo tem a mesma probabilidade p de estar não quebrado e que os ovos são independentes entre si, então X segue uma distribuição binomial com parâmetros n=20 e p. Nesse caso a função de massa de probabilidade é
P(X=k)=\binom{20}{k} p^{k} (1-p)^{20-k},\qquad k=0,1,\ldots,20,
onde \binom{20}{k} é o número de maneiras de escolher quais k ovos (entre os 20) estão não quebrados. Isso não era pedido, mas é um modelo padrão para essa situação e pode aparecer em provas.

Resposta

\{0,1,2,\ldots,20\}
Sim — X é discreta.

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