Exercício 2.3 Para cada uma das seguintes funções, determine o domínio e a imagem da função dada.
(i) h(x)= \begin{cases}x+5 & \text { se } x<-5 ; \\\ x^{2} & \text { se }-5 \leq x \leq 0 ; \\\ \frac{1}{x} & \text { se } x>0 .\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
h(x)=\begin{cases} x+5 & \text{se } x<-5,\\[4pt] x^{2} & \text{se } -5\le x\le 0,\\[4pt] \dfrac{1}{x} & \text{se } x>0, \end{cases}
e pede duas coisas: o domínio de h (conjunto de todos os x em que h está definida) e a imagem de h (conjunto de todos os valores possíveis y=h(x)). As informações relevantes são exatamente as três fórmulas e os intervalos onde cada uma vale.]

Passo 2

Determinar o domínio: verificar para cada ramo onde a fórmula é válida e se há pontos excluídos por problemas como divisão por zero.
  • O ramo x+5 está definido para todo x real, e aqui é usado apenas para \,x<-5.)
  • O ramo x^{2} está definido para todo x real, e aqui é usado em [-5,0].
  • O ramo \dfrac{1}{x} está definido para todo x\neq 0, e aqui é usado para x>0 (não inclui 0).
Note que o valor x=0 pertence ao ramo x^{2} (pois -5\le x\le0), então a divisão por zero nunca aparece no conjunto total onde a função está definida. Portanto não há x excluído: a função está definida para todo número real.
Logo o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Agora vamos achar a imagem por partes: calcular o conjunto de valores que cada ramo produz e depois tomar a união.
Primeiro ramo: para \,x<-5 temos h(x)=x+5.
  • A função x+5 é uma reta com inclinação 1. Quando x\to -\infty, x+5\to -\infty. Quando x\to -5^{-} (aproximação pela esquerda), x+5\to 0^{-}.
  • Como x nunca atinge -5 neste ramo, o valor 0 não é atingido por este ramo, apenas valores negativos arbitrariamente próximos de 0.
    Portanto a imagem deste ramo é (-\infty,0).

Passo 4

Segundo ramo: para -5\le x\le0 temos h(x)=x^{2}.
  • Para x nesse intervalo, |x| varia entre 0 (em x=0) e 5 (em x=-5), então x^{2} varia entre 0 e 25.
  • Como o intervalo de x inclui as extremidades -5 e 0, os valores 0 e 25 são efetivamente atingidos.
    Portanto a imagem deste ramo é [0,25].

Passo 5

Terceiro ramo: para x>0 temos h(x)=\dfrac{1}{x}.
  • Para x>0, \dfrac{1}{x} toma todos os valores positivos: quando x\to 0^{+}, \dfrac{1}{x}\to +\infty; quando x\to +\infty, \dfrac{1}{x}\to 0^{+}.
  • O valor 0 não é atingido por este ramo (apenas aproximado), mas todos os números y>0 são atingidos por algum x>0.
    Portanto a imagem deste ramo é (0,\infty).

Passo 6

Unir as imagens dos três ramos:
(-\infty,0)\\ \cup\\ [0,25]\\ \cup\\ (0,\infty).
Observando a união, (0,\infty) junto com [0,25] cobre todo [0,\infty), e com (-\infty,0) obtém-se todo (-\infty,\infty). Também o 0 está incluído (via o ramo x^{2} em x=0). Assim a imagem total é \mathbb{R}.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: \mathbb{R}

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