Exercício 2.3 Para cada uma das seguintes funções, determine o domínio e a imagem da função dada.
(e)
(e)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a função
dada:
- Determinar o domínio de
(todos os valores reais de para os quais está definida). - Determinar a imagem (conjunto de valores que
assume).
A função fornecida é
As informações relevantes que temos diretamente do enunciado são: a presença de uma raiz quadrada
aplicada ao radicando
e um sinal negativo multiplicando essa raiz.
Passo 2
O que significa domínio aqui e qual é a restrição básica da raiz quadrada?
- Domínio: conjunto de todos os
reais para os quais a expressão está bem definida como número real. - Restrição da raiz quadrada: para obter um número real a partir de
é necessário que o radicando seja maior ou igual a zero, isto é .
Aplicando isso ao nosso radicando
, impomos a desigualdade
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo:
porque ao dividir por
(número positivo) a desigualdade mantém o sentido.
Portanto, a condição para
é
. Esse é o domínio (o conjunto de
válidos).
Passo 3
Agora vamos pensar na imagem (conjunto de valores possíveis de
). Primeiro observe o comportamento da raiz:
- Para todo
do domínio, é um número real não negativo, ou seja
- Como
, o sinal negativo inverte o sinal do valor da raiz. Logo para todo do domínio teremos
Isto mostra que todos os valores possíveis de
são menores ou iguais a zero — a imagem está contida em
.
Passo 4
Determinar os extremos: existe algum valor máximo ou mínimo atingido?
- Valor máximo: na borda do domínio
o radicando é zero:
então
Portanto
é um valor atingido pela função, e como já vimos
para todo
do domínio,
é o supremo/valor máximo da imagem.
- Comportamento para
: quando cresce, cresce sem limite, então e, por causa do sinal negativo, . Logo a função não tem limite inferior finito; a imagem é não limitada para baixo.
Com isso, conclui-se que a imagem é todo o intervalo de valores menores ou iguais a zero, isto é
.
Passo 5
Uma verificação alternativa e rigorosa (inversão):
- Seja
. Então
Multiplicando por
,
Como o lado direito é
, segue
, isto é
. Elevando ao quadrado (observando que essa operação pode introduzir soluções extrâneas se não respeitarmos a condição anterior, mas aqui já temos
):
Para qualquer
a expressão
satisfaz
, ou seja, pertence ao domínio. Assim todo
é realmente atingido por algum
do domínio, confirmando que a imagem é exatamente
.
Passo 6
Alguns exemplos numéricos para fixar:
- Para
tem-se . - Para
tem-se (um número negativo). - Para
tem-se , um valor grande em módulo e negativo.
Esses exemplos mostram que 0 é atingido e que a função produz valores negativos arbitrariamente grandes em módulo.
Passo 7
Dica rápida para a prova (resumindo o método que sempre funciona para funções com raízes):
- Identificar o radicando e impor a condição de ser não negativo para achar o domínio.
- Observar o sinal que multiplica a raiz (se negativo, a imagem ficará em valores não positivos).
- Checar valores em extremos do domínio para ver se algum limite é atingido e estudar o comportamento quando
vai ao infinito para saber se há limites superiores/ inferiores.