Exercício 2.3 Para cada uma das seguintes funções, determine o domínio e a imagem da função dada.
(e) g(x)=-\sqrt{4+2 x}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a função g dada:
  • Determinar o domínio de g (todos os valores reais de x para os quais g(x) está definida).
  • Determinar a imagem (conjunto de valores que g(x) assume).
A função fornecida é
g(x) = -\sqrt{4 + 2x}.
As informações relevantes que temos diretamente do enunciado são: a presença de uma raiz quadrada \sqrt{\;\cdot\;} aplicada ao radicando 4+2x e um sinal negativo multiplicando essa raiz.

Passo 2

O que significa domínio aqui e qual é a restrição básica da raiz quadrada?
  • Domínio: conjunto de todos os x reais para os quais a expressão g(x) está bem definida como número real.
  • Restrição da raiz quadrada: para obter um número real a partir de \sqrt{A} é necessário que o radicando A seja maior ou igual a zero, isto é A \ge 0.
Aplicando isso ao nosso radicando 4+2x, impomos a desigualdade
4 + 2x \ge 0.
Agora resolvemos essa desigualdade passo a passo:
4 + 2x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad 2x \ge -4 \quad\Longrightarrow\quad x \ge -2,
porque ao dividir por 2 (número positivo) a desigualdade mantém o sentido.
Portanto, a condição para x é x \ge -2. Esse é o domínio (o conjunto de x válidos).

Passo 3

Agora vamos pensar na imagem (conjunto de valores possíveis de y=g(x)). Primeiro observe o comportamento da raiz:
  • Para todo x do domínio, \sqrt{4+2x} é um número real não negativo, ou seja
\sqrt{4+2x} \ge 0.
  • Como g(x) = -\sqrt{4+2x}, o sinal negativo inverte o sinal do valor da raiz. Logo para todo x do domínio teremos
g(x) \le 0.
Isto mostra que todos os valores possíveis de g(x) são menores ou iguais a zero — a imagem está contida em (-\infty,0].

Passo 4

Determinar os extremos: existe algum valor máximo ou mínimo atingido?
  • Valor máximo: na borda do domínio x = -2 o radicando é zero:
\sqrt{4 + 2(-2)} = \sqrt{0} = 0,
então
g(-2) = -0 = 0.
Portanto 0 é um valor atingido pela função, e como já vimos g(x)\le 0 para todo x do domínio, 0 é o supremo/valor máximo da imagem.
  • Comportamento para x \to +\infty: quando x cresce, 4+2x cresce sem limite, então \sqrt{4+2x}\to +\infty e, por causa do sinal negativo, g(x)\to -\infty. Logo a função não tem limite inferior finito; a imagem é não limitada para baixo.
Com isso, conclui-se que a imagem é todo o intervalo de valores menores ou iguais a zero, isto é (-\infty,0].

Passo 5

Uma verificação alternativa e rigorosa (inversão):
  • Seja y=g(x). Então
y = -\sqrt{4+2x}.
Multiplicando por -1,
-\;y = \sqrt{4+2x}.
Como o lado direito é \ge 0, segue -y \ge 0, isto é y \le 0. Elevando ao quadrado (observando que essa operação pode introduzir soluções extrâneas se não respeitarmos a condição anterior, mas aqui já temos y\le 0):
y^2 = 4 + 2x \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{y^2 - 4}{2}.
Para qualquer y\le 0 a expressão x = \dfrac{y^2-4}{2} satisfaz x\ge -2, ou seja, pertence ao domínio. Assim todo y\le 0 é realmente atingido por algum x do domínio, confirmando que a imagem é exatamente (-\infty,0].

Passo 6

Alguns exemplos numéricos para fixar:
  • Para x=-2 tem-se g(-2)=0.
  • Para x=2 tem-se g(2) = -\sqrt{4+4} = -\sqrt{8} = -2\sqrt{2} (um número negativo).
  • Para x=100 tem-se g(100) = -\sqrt{4+200} = -\sqrt{204}, um valor grande em módulo e negativo.
    Esses exemplos mostram que 0 é atingido e que a função produz valores negativos arbitrariamente grandes em módulo.

Passo 7

Dica rápida para a prova (resumindo o método que sempre funciona para funções com raízes):
  • Identificar o radicando e impor a condição de ser não negativo para achar o domínio.
  • Observar o sinal que multiplica a raiz (se negativo, a imagem ficará em valores não positivos).
  • Checar valores em extremos do domínio para ver se algum limite é atingido e estudar o comportamento quando x vai ao infinito para saber se há limites superiores/ inferiores.

Resposta

\mathrm{Dom}(g) = [-2,\infty)
\mathrm{Im}(g) = (-\infty,0]

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