Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto1f(x)-f(1)x-1,
onde
f(x)= x^2,&x<=1, 2x-1,&x>1
Este limite é justamente a derivada de f em x=1, se ela existir.

Passo 2

Antes de mais nada, vamos conferir que f é contínua em x=1. Temos
limxto1^-f(x)=limxto1^-x^2=1, limxto1^+f(x)=limxto1^+(2x-1)=1,
e f(1)=1^2=1. Logo f é contínua em 1.

Passo 3

Calculamos o limite lateral pela esquerda ( x<1), usando f(x)=x^2:
limxto1^-f(x)-f(1)x-1 =limxto1^-x^2-1x-1 =limxto1^-(x+1) =2

Passo 4

Agora o limite lateral pela direita ( x>1), usando f(x)=2x-1:
limxto1^+f(x)-f(1)x-1 =limxto1^+(2x-1)-1x-1 =limxto1^+2x-2x-1 =limxto1^+2 =2

Passo 5

Como os limites laterais coincidem ( 2=2), o limite original existe e vale 2.

Resposta

2

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