Seja f(x) uma função contínua.
Mostre que a mudança de variável u=cos x transforma
integral f(cos x) sen x d x em-integral f(u) d u

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usando a técnica de substituição em integrais, a mudança de variável
u = cos x
transforma
integral f(cos x),sin x,dx
em
- integral f(u),du
O conteúdo aqui é a regra de integração por substituição, que diz que se u=g(x) é diferenciável, então
integral fl(g(x)r),g'(x),dx = integral f(u),du

Passo 2

Definimos a substituição
u = cos x
Como cos x é diferenciável, calculamos sua diferencial:
du = -sin x,dx

Passo 3

Isolamos sin x,dx em função de du:
sin x,dx = -,du

Passo 4

Voltando à integral original, substituímos cos x por u e sin x,dx por -du:
integral f(cos x),sin x,dx = integral f(u),l(-dur) = - integral f(u),du

Resposta

- integral f(u),du

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