7- Dada a função
, determine:
a) Os pontos críticos de f.
b) Os valores máximos e mínimos absolutos no intervalo
.
a) Os pontos críticos de f.
b) Os valores máximos e mínimos absolutos no intervalo
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(a) os pontos críticos de ;
(b) os máximos e mínimos absolutos no intervalo .
O conteúdo envolvido é derivação de função raiz, identificação de pontos críticos (onde ou
não existe) e aplicação do Teorema do Valor Extremo em intervalo fechado.
(a) os pontos críticos de
(b) os máximos e mínimos absolutos no intervalo
O conteúdo envolvido é derivação de função raiz, identificação de pontos críticos (onde
Passo 2
Para começar, determinamos o domínio de
. Como o radicando precisa ser não negativo, temos
que implica
Portanto
está definida em
e, em particular, em qualquer subintervalo contido aí (como
).
Passo 3
Agora calculamos a derivada usando regra da cadeia. Escrevendo
temos
Passo 4
Os pontos críticos ocorrem onde
ou
não existe (dentro do domínio).
– dá
, logo
.
– não existe em
, mas esses são limites do domínio.
Portanto, o único ponto crítico interior é
–
–
Portanto, o único ponto crítico interior é
Passo 5
Para encontrar máximos e mínimos absolutos em
, avaliamos
nos candidatos: pontos críticos interiores e extremos do intervalo.
Passo 6
Comparemos os valores:
Logo o maior valor é
em
e o menor é
em
.
Resposta
(a) Ponto crítico:
.
(b) Máximo absoluto: .
Mínimo absoluto: .
(b) Máximo absoluto:
Mínimo absoluto: