7- Dada a função f(x)=raiz9-x^2, determine:
a) Os pontos críticos de f.
b) Os valores máximos e mínimos absolutos no intervalo [-1,2].

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=raiz9 - x^2 e pede:
(a) os pontos críticos de f;
(b) os máximos e mínimos absolutos no intervalo [-1,2].
O conteúdo envolvido é derivação de função raiz, identificação de pontos críticos (onde f'=0 ou f' não existe) e aplicação do Teorema do Valor Extremo em intervalo fechado.

Passo 2

Para começar, determinamos o domínio de f. Como o radicando precisa ser não negativo, temos
9 - x^2 >= 0
que implica
-3 <= x <= 3
Portanto f está definida em [-3,3] e, em particular, em qualquer subintervalo contido aí (como [-1,2]).

Passo 3

Agora calculamos a derivada usando regra da cadeia. Escrevendo
f(x) = (9 - x^2)^tfrac12,
temos
f'(x) = tfrac12,(9 - x^2)^-tfrac12,l(-2xr) = -xraiz9 - x^2

Passo 4

Os pontos críticos ocorrem onde f'(x)=0 ou f' não existe (dentro do domínio).
f'(x)=0 -tfracxraiz9 - x^2=0, logo x=0.
f' não existe em x=pm3, mas esses são limites do domínio.
Portanto, o único ponto crítico interior é
x=0

Passo 5

Para encontrar máximos e mínimos absolutos em [-1,2], avaliamos f nos candidatos: pontos críticos interiores e extremos do intervalo.
f(-1)=raiz9 - (-1)^2=raiz8=2raiz2,
f(0)=raiz9-0=3,
f(2)=raiz9 - 2^2=raiz5

Passo 6

Comparemos os valores:
f(0)=3, f(-1)=2raiz2approx2,828, f(2)=raiz5approx2,236
Logo o maior valor é 3 em x=0 e o menor é raiz5 em x=2.

Resposta

(a) Ponto crítico: x=0.
(b) Máximo absoluto: f(0)=3.
Mínimo absoluto: f(2)=raiz5.

Exercícios relacionados