QUESTÃO EXTRA
Determine se a série é convergente
Passo 1
O enunciado nos dá a série numérica
e pede para determinar se essa série é convergente ou divergente. Informações relevantes que o enunciado fornece (ou que podemos observar imediatamente):
- O termo geral é
. - Os termos são positivos para todo
, pois numerador e denominador são positivos para . - Não há outros parâmetros: a soma é sobre
indo para o infinito.
Passo 2
Idéia geral e ferramentas que vou usar (explicação didática do conceito importante).
- Quando temos uma série com termos positivos, uma forma prática de testar convergência é comparar o termo geral com o termo de uma série cujo comportamento já conhecemos bem.
- Uma família de séries muito conhecida é a das séries do tipo
chamada de séries p. Essa série converge se, e somente se,
, e diverge se
. Em particular, a série harmônica
corresponde a
e diverge.
- Para comparar, há um teste eficiente chamado teste da comparação limite (limit comparison test). Ele diz, em palavras simples:
- Se
e para grandes e o limite
existe e é um número finito e estritamente positivo ( ), então as séries e convergem ou divergem juntas (isto é, ou as duas convergem ou as duas divergem). - Se
- Vou aplicar essa ideia escolhendo uma
simples que capture o comportamento dominante de quando é grande.
Passo 3
Escolha da série de comparação e justificativa (por que escolher
assim).
- Observando
, o numerador tem grau em e o denominador tem grau . Para grande, o termo dominante do denominador é , logo o quociente se comporta como
- Por isso escolho comparar com
, que é o termo da série harmônica (que sabemos divergir). Agora aplico o teste da comparação por limites entre e .
Passo 4
Cálculo do limite do quociente entre
e
(passo a passo detalhado).
- Escrevo o quociente:
- Simplifico o quociente: dividir por
é multiplicar por , então
- Para calcular o limite quando
, fatoro no denominador (isso deixa claro o comportamento assintótico):
- Agora tomo o limite:
- Portanto o limite
existe e é finito e estritamente positivo: .
Passo 5
Conclusão usando o teste da comparação por limite e interpretação final.
- Pelo teste da comparação por limite, como obtivemos
as séries
e
têm o mesmo comportamento quanto à convergência.
- Sabemos que
(a série harmônica) diverge. - Logo a série dada
também diverge.
- Observação didática final: uma maneira rápida de ver isso sem todo o cálculo do limite é usar a noção de equivalência assintótica
(pois quando ). Se é equivalente a um termo de uma série divergente (no caso ), então a série de diverge — mas o cálculo do limite acima formaliza essa ideia.
Resposta
A série diverge.