QUESTÃO EXTRA

Determine se a série é convergente \sum \frac{n^{2}}{n^{3}+3}

Passo 1

O enunciado nos dá a série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{3}+3}
e pede para determinar se essa série é convergente ou divergente. Informações relevantes que o enunciado fornece (ou que podemos observar imediatamente):
  • O termo geral é a_n=\dfrac{n^{2}}{n^{3}+3}.
  • Os termos são positivos para todo n\in\mathbb{N}, pois numerador e denominador são positivos para n\ge 1.
  • Não há outros parâmetros: a soma é sobre n indo para o infinito.

Passo 2

Idéia geral e ferramentas que vou usar (explicação didática do conceito importante).
  • Quando temos uma série com termos positivos, uma forma prática de testar convergência é comparar o termo geral com o termo de uma série cujo comportamento já conhecemos bem.
  • Uma família de séries muito conhecida é a das séries do tipo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}},
chamada de séries p. Essa série converge se, e somente se, p>1, e diverge se p\le 1. Em particular, a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
corresponde a p=1 e diverge.
  • Para comparar, há um teste eficiente chamado teste da comparação limite (limit comparison test). Ele diz, em palavras simples:
    • Se a_n>0 e b_n>0 para n grandes e o limite
    L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}existe e é um número finito e estritamente positivo ( 0<L<\infty), então as séries \sum a_n e \sum b_n convergem ou divergem juntas (isto é, ou as duas convergem ou as duas divergem).
  • Vou aplicar essa ideia escolhendo uma b_n simples que capture o comportamento dominante de a_n quando n é grande.

Passo 3

Escolha da série de comparação e justificativa (por que escolher b_n assim).
  • Observando a_n=\dfrac{n^{2}}{n^{3}+3}, o numerador tem grau 2 em n e o denominador tem grau 3. Para n grande, o termo dominante do denominador é n^{3}, logo o quociente se comporta como
\frac{n^{2}}{n^{3}}=\frac{1}{n}.
  • Por isso escolho comparar com b_n=\dfrac{1}{n}, que é o termo da série harmônica (que sabemos divergir). Agora aplico o teste da comparação por limites entre a_n e b_n.

Passo 4

Cálculo do limite do quociente entre a_n e b_n (passo a passo detalhado).
  • Escrevo o quociente:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{n^{2}}{n^{3}+3}}{\dfrac{1}{n}}.
  • Simplifico o quociente: dividir por 1/n é multiplicar por n, então
\frac{a_n}{b_n}=\frac{n^{2}}{n^{3}+3}\cdot n=\frac{n^{3}}{n^{3}+3}.
  • Para calcular o limite quando n\to\infty, fatoro n^{3} no denominador (isso deixa claro o comportamento assintótico):
\frac{n^{3}}{n^{3}+3}=\frac{n^{3}}{n^{3}\!\left(1+\dfrac{3}{n^{3}}\right)}=\frac{1}{1+\dfrac{3}{n^{3}}}.
  • Agora tomo o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\dfrac{3}{n^{3}}}=\frac{1}{1+0}=1.
  • Portanto o limite L existe e é finito e estritamente positivo: L=1.

Passo 5

Conclusão usando o teste da comparação por limite e interpretação final.
  • Pelo teste da comparação por limite, como obtivemos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=1\quad\text{com}\quad 0<L<\infty,
as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento quanto à convergência.
  • Sabemos que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n} (a série harmônica) diverge.
  • Logo a série dada
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}}{n^{3}+3}
também diverge.
  • Observação didática final: uma maneira rápida de ver isso sem todo o cálculo do limite é usar a noção de equivalência assintótica a_n\sim\dfrac{1}{n} (pois \dfrac{n^{2}}{n^{3}+3}\sim\dfrac{1}{n} quando n\to\infty). Se a_n é equivalente a um termo de uma série divergente (no caso 1/n), então a série de a_n diverge — mas o cálculo do limite acima formaliza essa ideia.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados