Calcule
sendo
dada por
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
onde foi dada a função
Informações relevantes que temos:
- A função é
. - A expressão cujo limite devemos calcular é
quando . - A variável
é um ponto genérico onde o limite é avaliado (portanto a resposta deve ficar em função de ).
Passo 2
Primeiro passo prático: calcular
substituindo
por
na definição de
. Escrevendo:
Agora vamos desenvolver o quadrado
. Lembrete: a fórmula para quadrado de soma é
. Aplicando isso:
Passo 3
Distribuir o
nos termos do parêntese e somar o
:
Aqui cada termo foi obtido multiplicando e somando cuidadosamente:
,
,
, e em seguida soma-se
.
Passo 4
Agora formamos a diferença
. Escrevemos explicitamente os dois e subtraímos:
Ao efetuar a subtração, os termos
e
se cancelam, pois aparecem com sinais opostos. Ficamos com
Passo 5
O objetivo é dividir essa diferença por
. Como todos os termos do numerador têm fator
, fatoramos
:
Portanto, para
,
Aqui usei a propriedade distributiva e a fatoração comum: se cada termo tem
como fator, é seguro colocá-lo em evidência.
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. A expressão obtida é uma função polinomial em
(com parâmetro
), e polinômios são funções contínuas, então podemos simplesmente substituir
no resultado da etapa anterior:
Interpretação rápida: esse limite mede a taxa de variação de
em relação a
(às vezes chamado de derivada); para
obtemos
.