Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} sendo f dada por
b) f(x)=2 x^{2}+x

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
onde foi dada a função
f(x)=2x^{2}+x.
Informações relevantes que temos:
  • A função é f(x)=2x^{2}+x.
  • A expressão cujo limite devemos calcular é \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} quando h\to0.
  • A variável x é um ponto genérico onde o limite é avaliado (portanto a resposta deve ficar em função de x).

Passo 2

Primeiro passo prático: calcular f(x+h) substituindo x por x+h na definição de f. Escrevendo:
f(x+h)=2(x+h)^{2}+(x+h).
Agora vamos desenvolver o quadrado (x+h)^{2}. Lembrete: a fórmula para quadrado de soma é (x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}. Aplicando isso:
f(x+h)=2\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)+(x+h).

Passo 3

Distribuir o 2 nos termos do parêntese e somar o x+h:
f(x+h)=2x^{2}+4xh+2h^{2}+x+h.
Aqui cada termo foi obtido multiplicando e somando cuidadosamente: 2\cdot x^{2}=2x^{2}, 2\cdot 2xh=4xh, 2\cdot h^{2}=2h^{2}, e em seguida soma-se x+h.

Passo 4

Agora formamos a diferença f(x+h)-f(x). Escrevemos explicitamente os dois e subtraímos:
f(x+h)-f(x)=\bigl(2x^{2}+4xh+2h^{2}+x+h\bigr)-\bigl(2x^{2}+x\bigr).
Ao efetuar a subtração, os termos 2x^{2} e x se cancelam, pois aparecem com sinais opostos. Ficamos com
f(x+h)-f(x)=4xh+2h^{2}+h.

Passo 5

O objetivo é dividir essa diferença por h. Como todos os termos do numerador têm fator h, fatoramos h:
f(x+h)-f(x)=h\bigl(4x+2h+1\bigr).
Portanto, para h\neq 0,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=4x+2h+1.
Aqui usei a propriedade distributiva e a fatoração comum: se cada termo tem h como fator, é seguro colocá-lo em evidência.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to 0. A expressão obtida é uma função polinomial em h (com parâmetro x), e polinômios são funções contínuas, então podemos simplesmente substituir h=0 no resultado da etapa anterior:
\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\bigl(4x+2h+1\bigr)=4x+1.
Interpretação rápida: esse limite mede a taxa de variação de f em relação a x (às vezes chamado de derivada); para f(x)=2x^{2}+x obtemos \,4x+1.

Resposta

4x+1

Exercícios relacionados