Calcule, caso exista. Se não existir, justifique. \lim _{x \rightarrow 2} \frac{|x-1|}{x-1}
Passo 1
O enunciado pede para calcular, ou justificar a inexistência de, o limite
\lim_{x\to 2}\frac{|x-1|}{x-1}.
Informações relevantes do enunciado:
A expressão é \dfrac{|x-1|}{x-1}.
O denominador x-1 é igual a zero quando x=1, então a expressão não está definida em x=1.
O ponto onde calculamos o limite é x=2, que é distinto de 1. Portanto a expressão está bem definida em x=2 e em uma vizinhança de 2 (exceto possivelmente em x=1, que fica longe de 2).
Passo 2
Vamos lembrar a definição e o comportamento da função valor absoluto: para todo número real t\),
\[|t|= \begin{cases} t, & t\ge 0,\\[4pt] -t, & t<0. \end{cases}
Aplicando isso com t=x-1\], obtemos a forma peça a peça de \(|x-1|:
Agora dividimos |x-1|\) por \(x-1\) usando a expressão peça a peça. Para \(x\neq 1\) temos
\[\frac{|x-1|}{x-1}= \begin{cases} \displaystyle\frac{x-1}{x-1}=1, & x>1,\\[8pt] \displaystyle\frac{-(x-1)}{x-1}=-1, & x<1. \end{cases}
Em x=1\] a expressão não está definida (\(0/0 indeterminado). Portanto a função vale 1 para todos os x maiores que 1, e vale -1 para todos os x menores que 1.]
Passo 4
Como queremos \lim_{x\to 2}, observe que 2>1. Logo existe uma vizinhança de 2 (por exemplo intervalo (1{,}5,2{,}5)) em que todo x satisfaz x>1. Nessa vizinhança, para todo x\neq 1, a função \dfrac{|x-1|}{x-1} é igual a 1.
Teorema usado (intuitivo): se uma função é igual a uma constante c em toda uma vizinhança de a (exceto possivelmente em a próprio), então \lim_{x\to a} f(x)=c. Aqui a constante é 1 e a vizinhança é em torno de 2.
Portanto tanto o limite à direita quanto o limite à esquerda em x=2 valem 1: