Considere a função f(x)=\frac{x^{2}-3 x+2}{x-1}.
(a) Calcule \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)
(b) Calcule \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)
(c) Note que \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x). Podemos afirmar que \lim _{x \rightarrow 1} f(x) existe? Justifique.
(d) Podemos afirmar que f é contínua em p=1 ? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-3x+2}{x-1} e pede quatro coisas:
  • (a) calcular \displaystyle \lim_{x\to1^{-}} f(x);
  • (b) calcular \displaystyle \lim_{x\to1^{+}} f(x);
  • (c) observar que os limites laterais são iguais e responder se \displaystyle \lim_{x\to1} f(x) existe, justificando;
  • (d) decidir se f é contínua em p=1, justificando.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão da função é \displaystyle f(x)=\frac{x^{2}-3x+2}{x-1}.
  • Note que para x=1 o denominador é zero, portanto f(1) não está definida pela expressão dada (informação útil para as últimas perguntas).

Passo 2

Fatorar o numerador passo a passo (isso é uma técnica básica para simplificar frações algébricas).
Queremos fatorar \displaystyle x^{2}-3x+2. Procura-se dois números cuja soma seja -3 e cujo produto seja 2. Esses números são -1 e -2. Logo:
x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2).
Verificação rápida (expandir): (x-1)(x-2)=x^{2}-2x-x+2=x^{2}-3x+2. Está correto.

Passo 3

Usar a fatoração para simplificar f(x) quando x\neq1.
Substituindo a fatoração no numerador:
f(x)=\frac{(x-1)(x-2)}{x-1}.
Para x\neq1 podemos cancelar o fator (x-1), obtendo a expressão equivalente
\text{para }x\neq1:\qquad f(x)=x-2.
Importante: a simplificação só vale para x\neq1 porque em x=1 a expressão original não está definida (não se pode dividir por zero).

Passo 4

Entender o que é o limite neste contexto (pequula “aula” conceitual):
  • O valor de \displaystyle \lim_{x\to1} f(x) depende apenas do comportamento de f(x) quando x se aproxima de 1, e não depende do valor (ou da existência do valor) de f(1).
  • Se para x suficientemente próximo de 1 (mas diferente de 1) temos f(x)=x-2, então os limites laterais de f em 1 coincidem com os limites de x-2 em 1.
  • Polinômios (como x-2) são funções contínuas, então seu limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor obtido por substituição.

Passo 5

Calcular os limites laterais explicitamente usando a expressão simplificada.
Para x aproximando-se de 1 pela esquerda ou pela direita, com x\neq1, temos f(x)=x-2. Portanto:
\lim_{x\to1^{-}} f(x)=\lim_{x\to1^{-}} (x-2)=1-2=-1,
\lim_{x\to1^{+}} f(x)=\lim_{x\to1^{+}} (x-2)=1-2=-1.
Ambos os limites laterais existem e valem -1.

Passo 6

Responder (c): existência do limite de duas formas (definição prática).
  • Por definição, \displaystyle \lim_{x\to1} f(x) existe se, e somente se, os limites pela esquerda e pela direita existirem e forem iguais.
  • Aqui encontramos \displaystyle \lim_{x\to1^{-}} f(x)=\lim_{x\to1^{+}} f(x)=-1. Logo a condição é satisfeita e
\lim_{x\to1} f(x)=-1.

Passo 7

Responder (d): continuidade em p=1 usando a definição de continuidade.
  • Definição prática: f é contínua em p se (i) f(p) está definida, (ii) \lim_{x\to p} f(x) existe, e (iii) \lim_{x\to p} f(x)=f(p).
  • No caso p=1: já vimos que \lim_{x\to1} f(x)=-1 (condição (ii) satisfeita), mas a condição (i) falha porque a expressão original tem denominador x-1 e, portanto, f(1) não está definida.
  • Como f(1) não existe, a condição (iii) não pode ser verificada e, portanto, f não é contínua em p=1.
Observação adicional e útil para provas: essa é uma descontinuidade “removível” — se definíssemos artificialmente f(1):=-1 então a nova função seria contínua em 1.

Resposta

(a) -1
(b) -1
(c) Sim. \displaystyle \lim_{x\to1} f(x)=-1
(d) Não. f(1) não está definida, portanto f não é contínua em p=1.

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