Considere a função
.
(a) Calcule
(b) Calcule
(c) Note que
. Podemos afirmar que
existe? Justifique.
(d) Podemos afirmar que
é contínua em
? Justifique.
(a) Calcule
(b) Calcule
(c) Note que
(d) Podemos afirmar que
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede quatro coisas:
- (a) calcular
; - (b) calcular
; - (c) observar que os limites laterais são iguais e responder se
existe, justificando; - (d) decidir se
é contínua em , justificando.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A expressão da função é
. - Note que para
o denominador é zero, portanto não está definida pela expressão dada (informação útil para as últimas perguntas).
Passo 2
Fatorar o numerador passo a passo (isso é uma técnica básica para simplificar frações algébricas).
Queremos fatorar . Procura-se dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números são
e
. Logo:
Queremos fatorar
Verificação rápida (expandir):
. Está correto.
Passo 3
Usar a fatoração para simplificar
quando
.
Substituindo a fatoração no numerador:
Substituindo a fatoração no numerador:
Para
podemos cancelar o fator
, obtendo a expressão equivalente
Importante: a simplificação só vale para
porque em
a expressão original não está definida (não se pode dividir por zero).
Passo 4
Entender o que é o limite neste contexto (pequula “aula” conceitual):
- O valor de
depende apenas do comportamento de quando se aproxima de , e não depende do valor (ou da existência do valor) de . - Se para
suficientemente próximo de (mas diferente de ) temos , então os limites laterais de em coincidem com os limites de em . - Polinômios (como
) são funções contínuas, então seu limite ao se aproximar de um ponto é simplesmente o valor obtido por substituição.
Passo 5
Calcular os limites laterais explicitamente usando a expressão simplificada.
Para aproximando-se de
pela esquerda ou pela direita, com
, temos
. Portanto:
Para
Ambos os limites laterais existem e valem
.
Passo 6
Responder (c): existência do limite de duas formas (definição prática).
- Por definição,
existe se, e somente se, os limites pela esquerda e pela direita existirem e forem iguais. - Aqui encontramos
. Logo a condição é satisfeita e
Passo 7
Responder (d): continuidade em
usando a definição de continuidade.
- Definição prática:
é contínua em se (i) está definida, (ii) existe, e (iii) . - No caso
: já vimos que (condição (ii) satisfeita), mas a condição (i) falha porque a expressão original tem denominador e, portanto, não está definida. - Como
não existe, a condição (iii) não pode ser verificada e, portanto, não é contínua em .
Observação adicional e útil para provas: essa é uma descontinuidade “removível” — se definíssemos artificialmente
então a nova função seria contínua em
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Sim.
(d) Não. não está definida, portanto
não é contínua em
.
(b)
(c) Sim.
(d) Não.