Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A variável
aproxima-se de . - A função presente é a tangente, escrita aqui como
(mesma função que ).
A pergunta é: qual o valor desse limite quandotende a ?
Passo 2
Primeiro passo técnico: fazer a substituição de variável para trabalhar em torno de zero (isso facilita usar limites conhecidos). Defina
de modo que
quando
. Então
.
Passo 3
Usar a identidade de periodicidade da tangente:
Portanto, reescrevendo o quociente em termos de
,
Passo 4
Para analisar o limite quando
, observe que
é uma constante não nula. Uma forma simples é dividir numerador e denominador por
(operações algébricas válidas que não mudam o limite, desde que
):
Passo 5
Agora usamos um limite fundamental da trigonometria (caso que costuma cair na prova):
Isso significa que, quando
, a razão
tende a
. Assim
é do mesmo tamanho que
quando
é pequeno, e em particular
porque
quando
. Também claramente
.
Passo 6
Aplicando esses limites às parcelas da fração obtida no Passo 4, temos que cada uma das pequenas parcelas tende a zero:
Logo o numerador da fração em Passo 4 tende a
e o denominador também tende a
. Pelo fato de que o denominador tende a
(não a zero), podemos concluir pelo limite de uma razão de funções contínuas que o limite total é
Passo 7
Como
, essa conclusão vale exatamente para
. Portanto o limite pedido é
.