Calcule
\lim _{x \rightarrow \pi} \frac{x-\operatorname{tg} x}{x+\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\pi}\frac{x-\operatorname{tg}x}{x+\operatorname{tg}x}.
Informações dadas:
  • A variável x aproxima-se de \pi.
  • A função presente é a tangente, escrita aqui como \operatorname{tg}x (mesma função que \tan x).
    A pergunta é: qual o valor desse limite quando x tende a \pi?

Passo 2

Primeiro passo técnico: fazer a substituição de variável para trabalhar em torno de zero (isso facilita usar limites conhecidos). Defina
h = x-\pi,
de modo que h\to 0 quando x\to\pi. Então x=\pi+h.

Passo 3

Usar a identidade de periodicidade da tangente:
\operatorname{tg}(\pi+h)=\operatorname{tg}h.
Portanto, reescrevendo o quociente em termos de h,
\frac{x-\operatorname{tg}x}{x+\operatorname{tg}x} = \frac{\pi+h-\operatorname{tg}h}{\pi+h+\operatorname{tg}h}.

Passo 4

Para analisar o limite quando h\to 0, observe que \pi é uma constante não nula. Uma forma simples é dividir numerador e denominador por \pi (operações algébricas válidas que não mudam o limite, desde que \pi\neq0):
\frac{\pi+h-\operatorname{tg}h}{\pi+h+\operatorname{tg}h} = \frac{1+\dfrac{h}{\pi}-\dfrac{\operatorname{tg}h}{\pi}}{1+\dfrac{h}{\pi}+\dfrac{\operatorname{tg}h}{\pi}}.

Passo 5

Agora usamos um limite fundamental da trigonometria (caso que costuma cair na prova):
\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{tg}h}{h}=1.
Isso significa que, quando h\to 0, a razão \dfrac{\operatorname{tg}h}{h} tende a 1. Assim \operatorname{tg}h é do mesmo tamanho que h quando h é pequeno, e em particular
\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{tg}h}{\pi} = \frac{1}{\pi}\lim_{h\to 0}\operatorname{tg}h = \frac{1}{\pi}\cdot 0 = 0,
porque \operatorname{tg}h\to 0 quando h\to 0. Também claramente \dfrac{h}{\pi}\to 0.

Passo 6

Aplicando esses limites às parcelas da fração obtida no Passo 4, temos que cada uma das pequenas parcelas tende a zero:
\frac{h}{\pi}\to 0,\qquad \frac{\operatorname{tg}h}{\pi}\to 0.
Logo o numerador da fração em Passo 4 tende a 1 e o denominador também tende a 1. Pelo fato de que o denominador tende a 1 (não a zero), podemos concluir pelo limite de uma razão de funções contínuas que o limite total é
\lim_{h\to 0}\frac{1+\dfrac{h}{\pi}-\dfrac{\operatorname{tg}h}{\pi}}{1+\dfrac{h}{\pi}+\dfrac{\operatorname{tg}h}{\pi}}= \frac{1+0-0}{1+0+0}=1.

Passo 7

Como h=x-\pi, essa conclusão vale exatamente para x\to\pi. Portanto o limite pedido é 1.

Resposta

1

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