Calcule, caso exista. Se não existir, justifique.
lim x 2 f(x)-f(2)x-2 onde f(x)= 3-x^2 & , se x >= 2 2 x-5 & , se x<2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto2 f(x)-f(2)x-2 onde
f(x)=3-x^2,&x>=22x-5,&x<2
Esse tipo de limite é a definição de derivada de f em x=2, então vamos precisar de f(2) e dos limites laterais para ver se eles coincidem.

Passo 2

Primeiro, computamos f(2). Como 2>=2, usamos a primeira regra:
f(2)=3-2^2=3-4=-1

Passo 3

Agora calculamos o limite pela direita ( xto2^+). Para x>2 vale f(x)=3-x^2, então:
f(x)-f(2)x-2=(3-x^2)-(-1)x-2=4-x^2x-2=(2-x)(2+x)x-2=-(2+x)
Tomando xto2^+ obtemos
-(2+2)=-4

Passo 4

Em seguida calculamos o limite pela esquerda ( xto2^-). Para x<2 vale f(x)=2x-5, então:
f(x)-f(2)x-2=(2x-5)-(-1)x-2=2x-4x-2=2x-2x-2=2
Tomando xto2^- obtemos
2

Passo 5

Como o limite pela direita ( -4) é diferente do limite pela esquerda ( 2), os limites laterais não coincidem e, portanto, o limite dado não existe.

Resposta

O limite não existe, pois o limite pela direita é -4 e o limite pela esquerda é 2, e esses valores são diferentes.

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