Determine partial z / partial x e partial z / partial y.
18. z=x^2 y^3raizx+y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de
z = x^2y^3raizx+y = x^2y^3(x+y)^-1/2
O conteúdo aqui é derivada parcial de funções de várias variáveis, e vamos precisar usar a regra do produto junto com a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos calcular partial z/partial x. Tratando y como constante, escrevemos
z = A(x)cdot B(x), A(x)=x^2y^3,;B(x)=(x+y)^-1/2
Então
descrevemos as derivadas:
A'(x)=2x,y^3, B'(x)=-tfrac12(x+y)^-3/2cdot1

Passo 3

Aplicando a regra do produto:
partial zpartial x=A'(x)B(x)+A(x)B'(x) =2x y^3(x+y)^-1/2-tfrac12 x^2y^3(x+y)^-3/2
Agora vamos fatorar o máximo possível.

Passo 4

Fatorando x y^3(x+y)^-3/2:
partial zpartial x=x y^3(x+y)^-3/2l[2(x+y)-tfrac12xr] =x y^32(x+y)^3/2l(3x+4yr)

Passo 5

Agora calculamos partial z/partial y. Tratando x como constante, escrevemos
z = C(y)cdot D(y), C(y)=y^3,;D(y)=x^2(x+y)^-1/2
Derivadas:
C'(y)=3y^2, D'(y)=x^2cdot(-tfrac12)(x+y)^-3/2cdot1

Passo 6

Aplicando a regra do produto:
partial zpartial y=x^2l[3y^2(x+y)^-1/2-tfrac12y^3(x+y)^-3/2r]
Fatoramos x^2y^2(x+y)^-3/2.

Passo 7

Fatorando x^2y^2(x+y)^-3/2:
partial zpartial y=x^2y^2(x+y)^-3/2l[3(x+y)-tfrac12yr] =x^2y^22(x+y)^3/2l(6x+5yr)

Resposta

partial zpartial x=x,y^3(3x+4y)2(x+y)^3/2, partial zpartial y=x^2y^2(6x+5y)2(x+y)^3/2.

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