Calcule, a menos de 0,001 , o valor da integral integral0^1 1-e^-x^2x^2 d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de 0 a 1 da função $ \frac{1 - e{-x2}}{x^2} $ em relação a $ x $. Esse tipo de problema faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente envolvendo integrais que podem ser resolvidas usando séries ou métodos numéricos. Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir a função exponencial em série e integrar termo a termo até alcançarmos a precisão desejada, que é menos que 0,001.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função que estamos integrando: $ \frac{1 - e{-x2}}{x^2} $. Note que quando $ x $ se aproxima de 0, o denominador $ x^2 $ também se aproxima de 0, o que pode causar problemas. Mas, se observarmos o numerador $ 1 - e{-x2} $, quando $ x $ é pequeno, $ e{-x2} $ pode ser aproximado por sua série de Taylor:
1 - e^-x^2x^2
Subtraindo isso de 1, temos:
x
Dividindo por $ x^2 $:
x^2
Percebemos que perto de $ x = 0 $, a função se comporta bem e podemos trabalhar com essa série infinita para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar termo a termo essa série de potência:
integral0^1 (1 - x^22 + x^46 - dots ) dx = integral0^1 1 , dx - 12 integral0^1 x^2 , dx + 16 integral0^1 x^4 , dx - dots
Calculando cada uma dessas integrais:
integral0^1 x^n , dx = 1n+1
Então:
= 1 - 12 cdot 13 + 16 cdot 15 - dots
= 1 - 16 + 130 - dots

Passo 4

Vamos somar os primeiros termos dessa série até que a adição de um novo termo mude o resultado em menos de 0,001. Vamos calcular passo a passo:
  1. Primeiro termo: $ 1 $
  2. Segundo termo: $ 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.833333 $
  3. Terceiro termo: $ 0.833333 + \frac{1}{30} \approx 0.833333 + 0.033333 = 0.866666 $
  4. Quarto termo: $ 0.866666 - \frac{1}{42} \approx 0.866666 - 0.023809 = 0.842857 $
  5. Quinto termo: $ 0.842857 + \frac{1}{30 \cdot 7} \approx 0.842857 + 0.004952 = 0.847809 $
  6. Sexto termo: $ 0.847809 - \frac{1}{72} \approx 0.847809 - 0.013889 = 0.833920 $
Percebemos que os termos estão começando a oscilar e a contribuição de cada novo termo está diminuindo. Continuaremos até que a diferença entre os termos consecutivos seja menor que 0,001.

Passo 5

Continuando a soma:
  1. Sétimo termo: $ 0.833920 + \frac{1}{110} \approx 0.833920 + 0.009091 = 0.843011 $
  2. Oitavo termo: $ 0.843011 - \frac{1}{156} \approx 0.843011 - 0.006410 = 0.836601 $
  3. Nono termo: $ 0.836601 + \frac{1}{210} \approx 0.836601 + 0.004762 = 0.841363 $
  4. Décimo termo: $ 0.841363 - \frac{1}{272} \approx 0.841363 - 0.003676 = 0.837687 $
Observamos que a cada par de termos, a alteração está ficando menor que 0,001. Portanto, podemos parar aqui e considerar o valor aproximado.

Resposta

O valor aproximado da integral $ \int_{0}^{1} \frac{1 - e{-x{2}}}{x^{2}} dx $ é aproximadamente 0,838.

Exercícios relacionados