Calcule, caso existam, as derivadas parciais da função no ponto indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função no ponto $ P_{1}(1,1) $. Estamos lidando com derivadas parciais, que são usadas para ver como a função muda em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de derivada parcial e aplicar limites para verificar se as derivadas existem nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dada:
No ponto $ P_{1}(1,1) $, temos $ y = x^{2} $, então a função é definida como $ f(1,1) = 3 $.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em $ (1,1) $.
Para $ y \neq x^{2} $:
Aplicando a definição de derivada parcial:
Vamos calcular esse limite para $ (1,1) $:
Substituindo na função:
Simplificando:
Agora, calculamos o limite:
Simplificando a expressão:
Esse limite tende ao infinito, o que significa que a derivada parcial em relação a $ x $ não existe no ponto $ (1,1) $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em $ (1,1) $.
Usando a definição de derivada parcial:
Para $ (1,1) $:
Substituindo na função:
Simplificando:
Agora, calculamos o limite:
Esse limite também tende ao infinito, indicando que a derivada parcial em relação a $ y $ não existe no ponto $ (1,1) $.
Resposta
As derivadas parciais da função no ponto $ P_{1}(1,1) $ não existem.