Calcule, caso existam, as derivadas parciais da função no ponto indicado.
f(x, y)=l3 x^2+2 yx^2-y ; se y neq x^2 3, se y=x^2 ; P1(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais da função no ponto $ P_{1}(1,1) $. Estamos lidando com derivadas parciais, que são usadas para ver como a função muda em relação a uma variável, mantendo a outra constante. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de derivada parcial e aplicar limites para verificar se as derivadas existem nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada:
f(x, y) = 3x^2 + 2yx^2 - y & se y neq x^2 3 & se y = x^2 ; P1(1,1)
No ponto $ P_{1}(1,1) $, temos $ y = x^{2} $, então a função é definida como $ f(1,1) = 3 $.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial em relação a $ x $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial x} $ em $ (1,1) $.
Para $ y \neq x^{2} $:
x
Aplicando a definição de derivada parcial:
partial fpartial x
Vamos calcular esse limite para $ (1,1) $:
(1,1)
Substituindo na função:
y neq x^2
Simplificando:
f(x, y) = 3x^2 + 2yx^2 - y
Agora, calculamos o limite:
partial fpartial x = limh to 0 f(x+h, y) - f(x, y)h
Simplificando a expressão:
(1,1)
partial fpartial x|(1,1) = limh to 0 f(1+h, 1) - f(1,1)h
Esse limite tende ao infinito, o que significa que a derivada parcial em relação a $ x $ não existe no ponto $ (1,1) $.

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a $ y $, ou seja, $ \frac{\partial f}{\partial y} $ em $ (1,1) $.
Usando a definição de derivada parcial:
y
Para $ (1,1) $:
partial fpartial y
Substituindo na função:
(1,1)
Simplificando:
partial fpartial y = limk to 0 f(x, y+k) - f(x, y)k
Agora, calculamos o limite:
(1,1)
Esse limite também tende ao infinito, indicando que a derivada parcial em relação a $ y $ não existe no ponto $ (1,1) $.

Resposta

As derivadas parciais da função no ponto $ P_{1}(1,1) $ não existem.

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