Determine o domínio; determine e trace as interseções do gráfico com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível; e esboce o gráfico da função:
f(x, y)=9 x^2+4 y^2

Passo 1

Aqui temos a função f(x,y)=9x^2+4y^2, uma superfície em R^3. Precisamos encontrar o domínio, as interseções do gráfico z=f(x,y) com os planos coordenados, as curvas de nível e, por fim, esboçar o gráfico. Essa questão envolve conceitos de domínio de funções de duas variáveis, traços em planos coordenados, curvas de nível e visualização de superfícies (paraboloide elíptico).

Passo 2

Como f(x,y) é um polinômio em x e y, não há restrição de domínio: todas as combinações de (x,y) são válidas. Logo,
Dom(f)=R^2

Passo 3

Para traçar as interseções com os planos:
  • Plano xy (onde z=0): 0=9x^2+4y^2implies x=0,;y=0
    Há apenas o ponto (0,0,0).
    - Plano xz (onde y=0):
    z=9x^2É uma parábola no plano xz.
  • Plano yz (onde x=0): z=4y^2
    É uma parábola no plano yz.

Passo 4

As curvas de nível são dadas por f(x,y)=c, i.e.,
9x^2+4y^2=c
Para cada c>0 temos elipses centradas na origem com semi-eixos raizc/9 e raizc/4. Para c=0, reduz-se ao ponto (0,0).

Passo 5

O gráfico de f é um paraboloide elíptico que se abre para cima (no sentido de z positivo). As seções para y=const são parábolas z=9x^2+const e para x=const são parábolas z=4y^2+const.

Resposta

Domínio: R^2.
Interseções do gráfico com planos coordenados:
  • Plano xy: apenas o ponto (0,0,0).
  • Plano xz: parábola z=9x^2.
  • Plano yz: parábola z=4y^2.
Curvas de nível: 9x^2+4y^2=c, elipses de semi-eixos raizc/9 e raizc/4.
Gráfico: paraboloide elíptico abrindo para z>0, com eixos principais alinhados aos eixos x e y.

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