Determine o domínio; determine e trace as interseções do gráfico com os planos coordenados; determine e trace as curvas de nível; e esboce o gráfico da função:
Passo 1
Aqui temos a função
, uma superfície em
. Precisamos encontrar o domínio, as interseções do gráfico
com os planos coordenados, as curvas de nível e, por fim, esboçar o gráfico. Essa questão envolve conceitos de domínio de funções de duas variáveis, traços em planos coordenados, curvas de nível e visualização de superfícies (paraboloide elíptico).
Passo 2
Como
é um polinômio em
e
, não há restrição de domínio: todas as combinações de
são válidas. Logo,
Passo 3
Para traçar as interseções com os planos:
- Plano
(onde ):
Há apenas o ponto.
- Plano(onde ):
É uma parábola no plano . - Plano
(onde ):
É uma parábola no plano.
Passo 4
As curvas de nível são dadas por
, i.e.,
Para cada
Passo 5
O gráfico de
é um paraboloide elíptico que se abre para cima (no sentido de
positivo). As seções para
são parábolas
e para
são parábolas
.
Resposta
Domínio:
.
Interseções do gráfico com planos coordenados:
- Plano
: apenas o ponto . - Plano
: parábola . - Plano
: parábola .
Curvas de nível:
, elipses de semi-eixos
e
.
Gráfico: paraboloide elíptico abrindo para
, com eixos principais alinhados aos eixos
e
.