Calcule, caso existam, as derivadas parciais da função no ponto indicado.
f(x, y)=exp (x) ln (x y) P0(1,2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f(x,y)=\exp(x),\ln(xy) no ponto P₀=(1,2). O conteúdo envolve derivadas parciais de funções de duas variáveis, para isso vamos usar regra do produto e regra da cadeia (para derivar \ln(xy)).

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, tratamos y como constante e aplicamos a regra do produto em f(x,y)=e^xln(xy). A derivada de e^x é e^x e a de ln(xy) em relação a x é 1xycdot y. Logo:
partial fpartial x=e^xln(xy)+e^xcdotyxy=e^xln(xy)+e^xx

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, tratamos x como constante. A derivada de ln(xy) em relação a y é 1xycdot x. Assim:
partial fpartial y=e^xcdotxxy=e^xy

Passo 4

Agora basta avaliar essas expressões em (x,y)=(1,2):

Resposta

partial fpartial x(1,2)=eln2+e=e(ln2+1), partial fpartial y(1,2)=e2

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