Calcule o volume do sólido e massa a partir da integral. Densidade de.
integral-2^2 integral0^1 integral0^4-x^2 d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular o volume do sólido definido por
integralx=-2^2integraly=0^1integralz=0^4-x^2dz,dy,dx
e, em seguida, a massa desse mesmo sólido quando a densidade é de. O conteúdo aqui envolve integrais triplas e o uso delas para volume (integrando 1) e massa (integrando de).

Passo 2

Para achar o volume, vamos usar que V=integral triplaV1,dV. Primeiro integramos em z:
integral0^4-x^2dz=4-x^2
Depois em y de 0 a 1 isso só multiplica por 1, ficando 4-x^2. Agora em x de -2 a 2 temos:
integral-2^2(4-x^2),dx=4l[xr]-2^2-l[tfracx^33r]-2^2=16-tfrac163=tfrac323
Logo o volume é tfrac323.

Passo 3

Para a massa, usamos m=integral triplaVde. Repetimos o processo: integramos em z:
integral0^4-x^2(x-1),dz=(x-1)(4-x^2)
Em seguida em y de 0 a 1 continua (x-1)(4-x^2). Finalmente em x de -2 a 2:
integral-2^2(x-1)(4-x^2),dx=integral-2^2(-x^3+x^2+4x-4),dx=-tfrac323
Isso nos dá massa negativa porque a densidade é maiormente negativa na região.

Passo 4

Observe que a massa deu negativa pois a densidade x-1 é negativa para x<1, e a região com x<1 é maior em volume do que a parte onde x>1.

Resposta

Volume = tfrac323, Massa = -tfrac323

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