integral0^infty 1e^x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria de 0 a ∞ da função f(x)=e^-x. O conteúdo é integral imprópria e vamos precisar usar o conceito de limite para avaliá-la.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a integral em termos de um limite. Assim, consideramos um ponto A>0 e escrevemos:
integral0^infty e^-x ,dx = limA to infty integral0^A e^-x ,dx

Passo 3

Agora encontramos uma primitiva de e^-x. Sabemos que uma antiderivada de e^-x é:
integral e^-x ,dx = -e^-x + C

Passo 4

Com a primitiva em mãos, avaliamos a integral definida de 0 a A:
integral0^A e^-x ,dx = l[-e^-xr]0^A = l(-e^-Ar) - l(-e^0r) = -e^-A + 1

Passo 5

Finalmente, aplicamos o limite quando A tende a infinito. Como e^-A vai a zero quando Atoinfty, temos:
limA to infty(-e^-A + 1) = 0 + 1 = 1

Resposta

1

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