Calcule, caso existam, as derivadas parciais das funções nos pontos indicados.
f(x, y)=exp (x) ln (x y) P0(1,2)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de f(x,y)=e^xln(xy) no ponto $(1,2)$. Vamos usar o teorema da derivada parcial, que combina regra do produto (quando há (1,2)) e regra da cadeia (para e^xln(xy)).

Passo 2

Para calcular fixo, depois o contrário. Temos:
y

Passo 3

Agora avaliamos em $(1,2)$:
(1,2)

Passo 4

Para \(\nabla_y f(x,y)), derivamos somente ln(xy) em relação a y e multiplicamos por e^x, pois e^x é visto como constante:
fy(x,y)=e^xpartialpartial yl(ln(xy)) =e^xxxy =e^x1y

Passo 5

A seguir avaliamos em $(1,2)$:
(1,2)

Resposta

As derivadas parciais no ponto $(1,2)$ são
$ (1,2)

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