Seja f(x)=x^2-4x-1
Determine os pontos de máximo e mínimo local e os pontos de inflexão, caso existam;

Passo 1

O enunciado pede para estudar os extremos locais e os pontos de inflexão da função racional
f(x)=x^2-4x-1
Esse tipo de problema envolve cálculo das derivadas primeira e segunda, identificação de pontos críticos (onde f' se anula ou deixa de existir) e análise de concavidade (pela mudança de sinal de f'').

Passo 2

Para facilitar o cálculo, fazemos a divisão de polinômios:
x^2-4=(x-1)(x+1)-3
Logo,
f(x)=x+1-3x-1

Passo 3

Derivando em relação a x:
f'(x)=ddxl(x+1r)-ddxl(3x-1r)=1+3(x-1)^2

Passo 4

Para encontrar pontos críticos, resolvemos f'(x)=0 e verificamos onde f' não existe. Aqui:
1+3(x-1)^2=0
não tem solução real, e f' só não existe em x=1, mas essa abscissa não pertence ao domínio. Portanto não há pontos críticos internos.

Passo 5

Como f'(x)>0 para todo xneq1, a função é estritamente crescente em cada ramo do domínio. Concluímos que não existem pontos de máximo nem de mínimo local.

Passo 6

Agora a segunda derivada:
f''(x)=ddxl(1+3(x-1)^2r)=-6,1(x-1)^3
Igualando f''(x)=0 não dá solução, e o único ponto onde muda de sinal é x=1, que não está no domínio. Logo não há ponto de inflexão.

Passo 7

Resumo da concavidade: em x<1, (x-1)^3<0 então f''(x)>0 (côncava para cima); em x>1, (x-1)^3>0 então f''(x)<0 (côncava para baixo), mas a descontinuidade em x=1 impede um ponto de inflexão válido.

Resposta

Não há pontos de máximo ou mínimo local. Não há pontos de inflexão.

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