Determine a equação da reta tangente à hipérbole y^2-x^2=5 no ponto P=(2,3);

Passo 1

Temos a hipérbole definida implicitamente por y^2 - x^2 = 5 e queremos a reta tangente em P=(2,3). Vamos usar derivação implícita para obter a inclinação da reta e depois aplicar a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Derivando implicitamente y^2 - x^2 = 5 em relação a x, obtemos
2y,y' - 2x = 0
que implica em y' = xy.

Passo 3

Avaliando y' no ponto P=(2,3): temos m = y'(2,3) = 23.

Passo 4

Usando a forma ponto-inclinação, y - y0 = m(x - x0), substituímos m = 23 e P=(2,3), obtendo
y - 3 = 23(x - 2)
Rearranjando, fica y = 23x + 53.

Resposta

y = 23x + 53

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