Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
lim x 0 arctan (x)-xx cosh (x)-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 da seguinte expressão:
x
Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Taylor. Isso significa que vamos expandir as funções $ \arctan(x) $ e $ \cosh(x) $ em séries de potências em torno de 0 e simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Para pequenas variações de $ x $ perto de 0, podemos usar alguns termos dessa série para facilitar os cálculos.

Passo 3

Vamos começar expandindo $ \arctan(x) $ em série de Taylor em torno de 0. A expansão de $ \arctan(x) $ é:
arctan(x)
Como vamos trabalhar perto de $ x = 0 $, podemos considerar apenas os primeiros termos:
arctan(x)

Passo 4

Agora, vamos expandir $ \cosh(x) $. A série de Taylor para $ \cosh(x) $ é:
cosh(x)
De novo, para simplificar, consideramos os primeiros termos:
cosh(x)

Passo 5

Vamos substituir essas aproximações na expressão original:
arctan (x)-xx cosh (x)-x approx (x - x^33) - xx (1 + x^22) - x
Simplificando o numerador e o denominador:
-x^33x + x^32 - x = -x^33x^32

Passo 6

Agora, vamos simplificar a fração:
-x^33x^32 = -13 cdot 21 = -23
Aqui, o $ x^3 $ cancela, deixando apenas os coeficientes.

Resposta

O limite é $ -\dfrac{2}{3} $.

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