Utilize a fórmula de Taylor para determinar o seguinte limite, forneça justificativas para cada etapa do cálculo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 da seguinte expressão:
Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Taylor. Isso significa que vamos expandir as funções $ \arctan(x) $ e $ \cosh(x) $ em séries de potências em torno de 0 e simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a série de Taylor. É uma maneira de aproximar funções usando polinômios. Para pequenas variações de $ x $ perto de 0, podemos usar alguns termos dessa série para facilitar os cálculos.
Passo 3
Vamos começar expandindo $ \arctan(x) $ em série de Taylor em torno de 0. A expansão de $ \arctan(x) $ é:
Como vamos trabalhar perto de $ x = 0 $, podemos considerar apenas os primeiros termos:
Passo 4
Agora, vamos expandir $ \cosh(x) $. A série de Taylor para $ \cosh(x) $ é:
De novo, para simplificar, consideramos os primeiros termos:
Passo 5
Vamos substituir essas aproximações na expressão original:
Simplificando o numerador e o denominador:
Passo 6
Agora, vamos simplificar a fração:
Aqui, o $ x^3 $ cancela, deixando apenas os coeficientes.
Resposta
O limite é $ -\dfrac{2}{3} $.